Гипергеометрическое распределение. Пусть имеется п шаров, среди которых п1 белых и n2 черных (п = n1 + n2)

Пусть имеется п шаров, среди которых п ₁ белых и n ₂ черных (п = n ₁ + n ₂). Выберем k элементов без возвращения. Нас интересует вероятность события А = { среди выбранных окажется k ₁ белых и k ₂ черных шаров (k = k ₁ + k ₂)}.

Общее число исходов есть число сочетаний из п элементов по k, т.е. C _n^k. А число исходов, благоприятствующих к событию А равно, что объясняется просто: k ₁ шаров мы можем выбрать из имеющихся n ₁ белых шаров способами, a k ₂черных шаров из имеющихся n ₂ черных шаров способами, при этом любой способ выбора шаров, скажем, белого цвета комбинируется с любыми способами выбора шаров черного цвета. Тогда

Определенные таким образом вероятности носят название гипергеометрического распределения.

Рассмотрим случай, когда среди п шаров n ₁ белых, n ₂ черных,..., n_j красных шаров (п = n ₁ + n ₂ +... + n_j). Выбираем k шаров так, чтобы среди них оказалось k ₁ белых, k ₂ черных,..., k_j красных шаров (k = k ₁ + k ₂ +... + ). Событие, состоящее из таких выборок, обозначаем через А и аналогичными рассуждениями, как и в случае наличия шаров двух цветов, получаем

Пример. Из колоды в 52 карты наугад вынимаем 3 карты. Нас интересует вероятность события А = { вынуты «тройка», «семерка», «туз» }. Общее число элементарных исходов равно C ³₅₂. Исходы, благоприятные к событию А определяются так: выбирается одна «тройка» из четырех имеющихся «троек» различных мастей, одна «семерка» из четырех имеющихся «семерок» различных мастей и один «туз» из четырех имеющихся «тузов» различных мастей. Используя вышеприведенную формулу получаем