Способы определения радиуса сходимости степенного ряда

1. В соответствии с признаком Даламбера если , то сходится, если , то ряд расходится. Следовательно, при имеем: или .

2. Аналогично используя признак Коши, получим .

П р и м е р 1. Найти область сходимости степенного ряда . Найдем радиус сходимости. Здесь . Следовательно, .

Проверим сходимость в точке . Имеем ряд , который сходится, если и расходится, если .

Проверим сходимость в точке . Имеем ряд , который сходится, если и расходится, если .

Замечание. Внутри интервала сходимости ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз. Это значит, что если , то 1) ,

2) .