Примеры приложений рядов Тейлора

Представленные в предыдущем пункте канонические разложения могут

служить основой для получения новых разложений. Так, положив и

в последнем разложении, мы получим формулы суммы бесконечной

геометрической прогрессии со знаменателем : . Заменив в этой формуле на , получим:

.

Заменим в последней формуле на , мы получим разложение

. Последний ряд имеет радиус сходимости, равный 1. Вспомним, что внутри интервала сходимости ряды можно интегрировать

почленно и проинтегрируем обе части последнего равенства по от 0 до

тогда получим разложение: .

Выше, там, где мы говорили о функциях, не имеющих первообразной,

выраженной через элементарные функции, был приведен пример функции . Благодаря простому разложению этой функции в ряд Тейлора, ее можно проинтегрировать по отрезку и получить новую функцию, называемую интегральным синусом: .