2014-02-18
773
2#. Пусть функция 
определена на интервале 
, кроме, быть может, точки 
. Число 
называется пределом функции 
в точке 
, если для любого 
существует такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
выполняется неравенство 
.
** Рассмотрим графическую интерпретацию предела функции в точке (рис.1)
! Отметим, что оба определения (по Гейне и по Коши) представляют собой определение двустороннего предела функции в точке.
Сформулируем определение односторонних преде лов – предела слева функции в точке и предела справа функции в точке.
3#. Пусть функция определена на полуинтервале 
(соответственно на 
). Число 
называется пределом слева (справа) функции в точке 
(соответственно 
), если для любого существует такое число , что
для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
(соответственно 
).
! Обозначим: 
= (соответственно 
= ).
! Отметим, что связь между односторонними пределами и двусторонним пределом устанавливает следующая теорема.
 .Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как справа, так и слева и они равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции в точке.
|
 Если функция имеет предел в точке , то существует окрестность этой точки (не содержащая, быть может саму точку ), на которой функция ограничена.
|
 Если=  , то существует  окрестность  точки , такая, что  при  ,  и имеет тот же знак, что и число .
|
