Сформулируем второе определение предела функции (по Коши)

2#. Пусть функция определена на интервале , кроме, быть может, точки . Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

** Рассмотрим графическую интерпретацию предела функции в точке (рис.1)

! Отметим, что оба определения (по Гейне и по Коши) представляют собой определение двустороннего предела функции в точке.

Сформулируем определение односторонних преде лов – предела слева функции в точке и предела справа функции в точке.

3#. Пусть функция определена на полуинтервале (соответственно на ). Число называется пределом слева (справа) функции в точке (соответственно ), если для любого существует такое число , чтодля всех , удовлетворяющих неравенству (соответственно ).

! Обозначим: = (соответственно = ).

! Отметим, что связь между односторонними пределами и двусторонним пределом устанавливает следующая теорема.

.Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как справа, так и слева и они равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции в точке.

Если функция имеет предел в точке , то существует окрестность этой точки (не содержащая, быть может саму точку ), на которой функция ограничена.

Если=, то существует окрестность точки , такая, что при , и имеет тот же знак, что и число .