2014-02-18
667
! Отметим, что все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены на некотором интервале 
(конечном или бесконечном), кроме, быть может, фиксированной точки 
.
4#. Функция 
называется бесконечно малой функцие й (или просто бесконечно малой) при 
, если 
.
  существует и равен  тогда и только тогда, когда  , где  - бесконечно малая при .
|
Если =, то, полагая, что 
, получим 
.
Если же верно обратное утверждение - и , то
.
☺
Непосредственно из свойств пределов последовательностей и определения предела функции по Гейне следует теорема 2:
 .Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции при на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при . Частное  от деления функции бесконечно малой  при на функцию  , предел которой при отличен от нуля, есть функция бесконечно малая.
|
5#. Функция 
называется бесконечно большой при , если для любого 
существует такое число 
, что
для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, 
.
! Обозначим: = 
.
! Отметим, что если для любого существует такое число , что (соответственно 
) для всех , удовлетворяющих условию , , то пишут
= +(соответственно 
).
! Отметим, что по аналогии с конечными односторонними пределами определяются и односторонние бесконечные пределы: (завершите ряд односторонних бесконечных пределов):
= ; 
=; = +;…
До сих пор операцию предельного перехода мы рассматривали на интервале . Зададим открытый или полуоткрытый интервал, например, 
. Можно говорить о 
конечном пределе 
или бесконечном пределе 
.
Задание. Сформулируйте определение предела 
на основе предела функции по Коши.
 Если функция  при (или при  ) и не обращается в нуль, то функция  .
|
При любом сколь угодно большом 
будет выполняться неравенство 
, если только будет выполняться неравенство 
. Последнее неравенство будет выполняться для всех значений функции 
, начиная с некоторого, в силу того, что при (или при ).
☺
