Формула полной вероятности. Формула сложения n событий

Формула сложения n событий

Пусть некоторое событие А может наступить или не наступить с одним из ряда несовместных событий , составляющих полную группу. События такого рода обычно называют гипотезами. Известно также условные вероятности наступления события А при составлении каждой из указанных гипотез.

Вероятность события А определяется по следующей теореме:

Вероятность события А, которое может произойти вместе с одной и гипотез равна сумме парных произведений вероятностей каждой из этих гипотез на отвечающее им условие вероятности наступления события А.

Эта формула носит название функции полной вероятности&

Доказательство:

Т.к. гипотезы образуют полную группу, то событие А можно представить в виде следующей суммы событий:

Т.к. события не совместны, то и событие также несовместно. Это позволяет применить для определения вероятности события А теорему сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность произведения находится по аксиоме умножения вероятностей:

ч.т.д.

Теорема гипотез (формула Бейеса)

До сих пор мы рассматривали вероятности событий до испытаний, т.е. в комплексе условий не фигурировал результат проведения опыта.

Решим следующую задачу: Имеется полная группа несовместных гипотез . Известны вероятности каждой из гипотез . Производится опыт и в его результате осуществляется некоторое событие А, вероятности которого по каждой из гипотез известны . Найти какие вероятности меют гипотезы в связи с появлением события А, т.е. найти условные вероятности .

Теорема гипотез:

Верояность гиопотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события: