Лекция 6. Интегральная теорема муавра–лапласа, теорема Бернулли

Для вычисления при больших n вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли находится между m₁ и m₂, используется интегральная теорема Муавра–Лапласа.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность успеха в каждом испытании р, p Î(0;1) постоянна, то при n ® ¥ для любых a, b

На основании интегральной теоремы Муавра–Лапласа для вычисления вероятности события при больших n и npq >9 используют приближенную формулу

где .

Значения можно найти, воспользовавшись таблицами функции Лапласа, покажем это:

= ,

т.е. при больших n,

Ф(b) – Ф(а). (1)

Значения функции Лапласа приведены в таблицах для х > 0. Для того, чтобы вычислить значения функции для отрицательных х, надо воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Ф(x) + Ф(-x) = 1.

Доказательство: j(x) – чётная, так как j(x) = j(- x). Тогда (рис.1).

-х х

Рис. 1

Следовательно, по интегральной теореме Муавра–Лапласа

В некоторых источниках Ф(х) определяется как .

В этом случае Ф(–x) = –Ф(x).

Событие m₁£ m £ m₂ эквивалентно событию .

Поэтому, учитывая (1) для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено в пределах от m₁ до m₂, можно использовать формулу

, (2)

где , .

Формула (2) хорошо работает, если n < 50. При больших значениях n лучше взять

и .

Обозначим через b вероятность того, что относительная частота наступления успеха в n испытаниях Бернулли отклонится от вероятности успеха p не более чем на e > 0, т.е. . Покажем, что при достаточно больших n с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа можно определить вероятность b.