2014-02-18
788
Дифференциальные уравнения неразрывности
В системе из трех дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости (56) содержится четыре неизвестных параметра движения 
; 
; 
; 
. Для того, чтобы определить эти параметры, необходимо четвертое уравнение. Таким уравнением является дифференциальное уравнение неразрывности.
Выделим в движущейся идеальной жидкости параллелепипед (рис. 21) со сторонами 
; 
; 
, представляющий собой неподвижную часть пространства, заполненного движущейся жидкостью. Будем считать, что движение жидкости происходит без образования пустот и переуплотнений, т.е. с постоянной плотностью.
Рис. 21.
В точке А 
в момент времени 
скорость движения будет 
, а ее проекции на координатные оси: 
.
Так как скорости движения частиц изменяются с изменением их положения в пространстве, то в тот же момент времени скорость в точке В 
, отстоящей от точки А на расстоянии будет равна 
. Частная производная в градиенте давления 
принята потому, что при переходе частицы из точки А в точку В меняется только координата .
Таким образом, за время 
через грань АСДЕ параллелепипеда будет втекать жидкость массой
а через грань ВС 1 Д 1 Е 1 вытекать
.
Следовательно, за время изменение массы жидкости в параллелепипеде в результате движения через грани, нормальные к оси 
будет равно
.
Изменения массы жидкости через грани нормальные к осям 
и 
соответственно будут равны
;
.
Так как форма параллелепипеда остается неизменной, а движение жидкости происходит без образования пустот и переуплотнений, общая сумма изменений массы внутри параллелепипеда будет равна нулю, т.е.
или после сокращения:
(59)
Физический смысл уравнения (59) состоит в том, что сумма изменений проекций скоростей в направлении соответствующих координатных осей равна нулю. Это значит, что объем несжимаемой жидкости, которая втекает в параллелепипед, равна объему жидкости, вытекающему из него.
