Примеры решения задач

5.4.2. Партия изделий содержит 20% изделий, изготовленных заводом I, 30% - заводом II, 50% - заводом III. Для завода I вероятность выпуска бракованного изделия равна 0, 05, для завода II – 0,01, для завода III – 0,06. Чему равна вероятность того, что изделие, взятое наудачу из партии, окажется бракованным? Если известно, что наудачу выбранное из партии изделие оказалось бракованным, то чему равна вероятность того, что оно было изготовлено заводом I? Заводом II? Заводом III?

Решение. Хотя это вовсе не обязательно, мы построим пространство элементарных исходов W. Здесь элементарный исход – на каком заводе и насколько качественно изготовлено наудачу взятое изделие. Тогда элементарных исходов будет всего 6: W = {1К, 1Б, 2К, 2Б, 3К, 3Б}, где, например, запись 2К означает, что изделие оказалось качественным и изготовленным на втором заводе.

Разбиение пространства W образуют события: Н ₁ = {1К, 1Б} = {взятое изделие изготовлено на первом заводе}; Н ₂ = {2К, 2Б} = { взятое изделие изготовлено на втором заводе}; Н ₃ = {3К, 3Б} = { взятое изделие изготовлено на третьем заводе}.

Вероятности этих событий фактически даны в условии задачи:

Обозначим через А событие {выбранное изделие оказалось бракованным}. По условию задачи

Нам нужно найти вероятность события А. Найдем ее по формуле полной вероятности:

Далее требуется вычислить вероятности если известно, что событие А произошло.

Эти числа соответствуют интуитивным представлениям о том, что если уж выбрано бракованное изделие, то оно, скорее всего, произведено на том заводе, который производит основную массу продукции да еще с большим процентом брака.

5.4.2. Игрок М называет число 6 или число 1 с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно. Игрок N независимо называет те же числа с вероятностями 0,6 и 0,4. Если сумма названных чисел четная, то выигрывает М, если нечетная – выигрывает N. Если известно, что игрок М выиграл, то какова вероятность того, что он назвал 1?

Решение. Разбиение пространства элементарных исходов образуют следующие события: Н ₁ = {игрок М назвал 6, игрок N назвал 6}, р (Н ₁) =

= 0,3·0,6 = 0,18, Н ₂ = {игрок М назвал 6, игрок N назвал 1}, р (Н ₂) = 0,3×0,4 =

= 0,12, Н ₃ = {игрок М назвал 1, игрок N назвал 6}, р (Н ₃) = 0,7·0,6 = 0,42, Н ₄ = {игрок М назвал 1, игрок N назвал 1}, р (Н ₄) = 0,7·0,4 = 0,28.

Пусть событие В = {выиграл игрок М }, ясно, что

, . Найдем р (В).

Требуется найти , так как если игрок М выиграл, назвав 1, то игрок N тоже назвал 1.

5.4.4. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью р ₁; на втором – с вероятностью р ₂; на третьем – с вероятностью р ₃. Рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил на первом месте.