АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Для анализа и синтеза САУ необходимо иметь ее математическое описание, т.е. описание процессов, протекающих в системе на языке математики.
Математическое описание системы может быть задано:
- аналитически (в виде уравнений);
- графически (в виде структурных схем);
- таблично.
Уравнения, а также структурные схемы системы или ее элементов называются математическими моделями.
Для получения математической модели системы в ТАУ, в основном, используется поэлементный метод. Этот метод позволяет получать математическую модель системы путем объединения математических моделей ее отдельных элементов.
Математическую модель отдельных элементов обычно получают:
- на основе физических и других типов законов, которым подчиняются процессы, происходящие в элементах;
- экспериментально на основе функционального подхода с использованием принципа «черного ящика». При этом математическая модель должна как можно полнее отражать свойства оригинала и в тоже время быть по возможности более простой, чтобы не усложнять исследования.
|
|
При разработке математической модели системы или ее элементов учитывают два режима ее работы, приведенных на рис. 2.1.
Установившийся (статический) режим работы САР (участки I и III) – это режим, при котором характеристики системы не зависят от времени t.
Уравнения, описывающие поведение САР или ее элементов в установившемся режиме называются уравнениями статики, а их графики называются статическими характеристиками. Уравнения статики представляют собой системы нормальных алгебраических уравнений.
Рис. 2.1. Режимы работы САР
Переходный (динамический) режим работы САР (участок II) – это режим, при котором характеристики системы или ее элементов являются функциями времени.
Уравнения, описывающие поведение системы или ее элементов в переходном режиме называются уравнениями динамики, а их графики динамическими характеристиками. Уравнения динамики обычно представляют собой системы дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений.
Запишем уравнение динамики для одномерного элемента, приведенного на рис. 2.2. в следующем виде:
Рис. 2.2. Схема одномерного элемента
(2.1)
Зачастую уравнение (2.1) делится на коэффициент а0, чтобы коэффициент при старшей производной выходной переменной равнялся 1.
В ТАУ часто используется другая форма записи дифференциального уравнения
(2.2)
где k – коэффициент передачи элемента (системы); Т – постоянные времени, характеризующие инерционные свойства элемента (системы).
Уравнение (2.1) без правой части называется однородным дифференциальным уравнением, а с правой частью неоднородным дифференциальным уравнением.
|
|
Уравнения статики получаются из уравнений динамики при t ®¥.
Математическая модель элемента (или части сложного элемента), которая отображает лишь его динамические свойства, а не физическую сущность происходящих в нем процессов, называется динамическим звеном.