Материальной точки

Теорема об изменении кинетической энергии

Данная теорема устанавливает количественную взаимосвязь между работой силы (причиной) и кинетической энергией материальной точки (следствием).

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости

. (43)

Кинетическая энергия характеризует то механическое действие силы, которое может превратиться в другие виды энергии, например, в тепловую.

Работой силы на данном перемещении называется характеристика того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости.

Элементарная работа силы определяется как скалярное произведение вектора силы на элементарный вектор перемещения в точке ее приложения

, (44)

где - элементарное перемещение.

Модуль элементарной работы определяется формулой

, (45)

где a - угол между вектором силы и вектором элементарного перемещения; - проекция вектора силы на касательную.

Полная работа на некотором конечном перемещении определяется интегралом

. (46)

Из (46) следует, что полная работа может быть вычислена в двух случаях, когда сила постоянная или зависит то перемещения.

При F =const получаем .

При решении задач часто удобно пользоваться аналитическим способом вычисления силы

где F_x, F_y _, F_z – проекции силы на координатные оси.

Докажем следующую теорему.

Теорема: Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Пусть материальная точка M массы m движется под действием силы F из положения M₀ в положение M₁.

ОУД: . (47)

Введем подстановку и спроектируем (47) на касательную

. (48)

Разделяем в (48) переменные и интегрируем

В результате получим

. (49)

Уравнение (49) доказывает сформулированную выше теорему.

Теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и искомых параметров присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и перемещение.

Вычисление работы характерных сил.

1. Работа силы тяжести вычисляется как произведение модуля силы на перемещение точки ее приложения по вертикали

. (50)

При перемещении вверх работа положительная, при перемещении вниз – отрицательная.

2. Работа упругой силы пружины F =- cx равна

, (51)

где x ₀ – начальное удлинение (сжатие) пружины;

x ₁ – конечное удлинение (сжатие) пружины.

Работа силы тяжести и упругой силы не зависят от траектории перемещения их точек приложения. Такие силы, работа которых не зависит от траектории, называются потенциальными силами.

3. Работа силы трения.

Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную направлению перемещения, то ее работа равна

. (52)