Несвободное движение материальной точки

Несвободным называется движение точки, ограниченное какими-либо связями.

Пусть материальная точка движется по поверхности, имеющей вид

Ф(x, y, z)= 0 (20)

На точку действуют:

F – заданная активная сила (или равнодействующая системы сил);

N – нормальная реакция поверхности;

T – сила трения, всегда направленная в сторону, противоположную вектору скорости.

Основное уравнение динамики имеет вид

. (21)

Проектируя (21) на оси координат получим дифференциальные уравнения движения

(22)

В уравнениях (22) необходимо определить положение сил N и T по отношению к координатным осям. Используя уравнение поверхности (20) на основании известных математических зависимостей имеем

(23)	дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме Лагранжа I рода

где - градиент функции (20);

- частные производные от (20);

- скорость материальной точки.

При решении системы (23) к ней необходимо присоединить уравнение (20) и уравнение для силы трения, например, закон Кулона

T=fN,

где f – коэффициент трения скольжения.

После чего из пяти уравнений можно найти пяти неизвестных: x, y, z, N, T.

В тех случаях, когда точка движется по пространственной кривой, удобно пользоваться дифференциальными уравнениями несвободного движения в проекции на естественные оси. При этом в уравнения (4) войдут реакция поверхности N и сила трения T.

. (24)

Динамика относительного движения

Пусть материальная точка движется под действием силы F. Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O ₁ x ₁ y ₁ z ₁.

Основное уравнение динамики в неподвижной системе

. (25)

Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса

, (26)

где a_абс – абсолютное ускорение;

a_отн – относительное ускорение;

a_пер – переносное ускорение;

a_кор – кориолисово ускорение.

Перепишем (25) с учетом (26)

,

. (27)

Введем обозначения - переносная сила инерции, - кориолисова сила инерции. Тогда уравнение (27) приобретает вид

. (28)

Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.