Движение центра масс системы

Точка С, положение которой определяется радиус-вектором:

, (2.17)

называется центром масс системы материальных точек. Здесь m_i - масса i -й частицы; r _i - радиус-вектор, задающий положение этой частицы; - суммарная масса системы. (Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.)

Продифференцировав r _C по времени, найдем скорость центра масс:

(2.18)

где V _i - скорость i -ой материальной точки, p _i - ее импульс, P – импульс системы материальных точек. Из (2.18) следует, что суммарный импульс системы есть

P = m V _C, (2.19)

Из (2.19) и (2.16), получим уравнение движения центра масс:

(2.20)

(а _C – ускорение центра масс). Таким образом, из уравнения

(2.20a)

следует, что центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы а_C = 0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц- системой). Эта система является инерциальной.

Контрольные вопросы

1. В каких системах отсчета справедливы законы Ньютона?

2. Какие формулировки второго закона Ньютона вы знаете?

3. Чему равен вес свободно падающего тела?

4. Какой знак имеет скалярное произведение силы трения и скорости тела?

5. Чему равен импульс системы материальных точек в системе центра масс?

6. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил ?

Задачи

1. Пуля пробивает две примыкающие друг к другу коробки с жидкостями: вначале коробку с глицерином, затем такую же коробку с водой. Как изменится конечная скорость пули, если коробки поменять местами? Другими силами, действующими на пулю, кроме силы сопротивления жидкости F = – r V, пренебречь.

2. Движение материальной точки задано уравнениями x = a t ³, y = b t. Изменяется ли сила, действующая на точку: а) по модулю; б) по направлению?

3. Скорость материальной точки задана уравнениями u _x = A ∙ sinw t,u _y = A ∙ cosw t. Изменяется ли сила, действующая на точку: а) по модулю; б) по направлению?

4. Шарик, висящий на нити длиной l, после горизонтального толчка поднимается на, высоту H, не сходя с окружности. Может ли его скорость оказаться равной нулю: а) при H < l б) при H > l?

5. Два тела массами т ₁ > m ₂ падают с одинаковой высоты. Силы сопротивления считать постоянными и одинаковыми для обоих тел. Сравнить время падения тел.

6. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы F. Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от коэффициента трения брусков о плоскость?

7. Брусок массой m ₁ = 1 кг покоится на бруске массой m ₂= 2 кг. На нижний брусок начала действовать горизонтальная сила, возрастающая пропорционально времени, ее модуль F = 3 t (F – в Н, t – в с). В какой момент времени верхний брусок начнет проскальзывать? Коэффициент трения между брусками m = 0,1, трение между нижним бруском и опорой пренебрежимо мало. Принять g = 10 м/с².

8. Два шарика а и б, подвешенные на нитях в общей точке0, равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости.

9. Коническая воронка вращается с постоянной угловой скоростью w. Внутри воронки на стенке лежит тело, которое может свободно скользить вдоль образующей конуса. При вращении тело находится в равновесии относительно стенки. Является это равновесие устойчивым или неустойчивым?

Глава 3
Работа и энергия