Вычисление тройных интегралов в сферических координатах

Положение произвольной точки М в сферических координатах определяется тройкой чисел: , где

– расстояние точки М от начала координат,

– угол между радиус-вектором точки М и положительным направлением оси ,

– угол между проекцией радиус-вектора точки М на плоскость и положительным направлением оси . (рис. 10)

y

x

z

r

Рис. 10

Связь с декартовыми координатами:

.

Тройной интеграл в сферических координатах имеет вид: . (46)

Приложения двойного и тройного интеграла.

1. Вычисление площади посредством двойного интеграла.

в прямоугольных координатах

в полярных координатах. (47)

2. Вычисление объема тела посредством двойного интеграла

– объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область на плоскости и ограниченного сверху поверхностью .

3. Вычисление массы, центра тяжести и момента инерции посредством двойного интеграла.

, .

где – поверхностная плотность в точке плоской фигуры (материальной пластинки), занимающей область , а – масса материальной пластинки.

;

,

где , – статические моменты пластинки относительно осей и . Если пластинка однородна, то выносится за знаки интегралов и сокращается;

, – координаты центра тяжести С.

где , , – моменты инерции относительно осей и и начала координат О.

4. Вычисление объема пространственной области посредством тройного интеграла.

5. Вычисление массы тела, занимающего область .

,

где – объемная плотность распределения масса в точке тела.

6. Вычисление координат центра тяжести С тела.

где – статические моменты тела относительно координатных плоскостей:

Для однородного тела выносится за знаки и сокращается.

7. Вычисление моментов инерции тела относительно осей , , и начала координат О.