2014-02-24
1047
Следствие 2
Следствие 1
Если события А и В независимы, то вероятность произведения таких событий находится как произведение безусловных вероятностей этих событий:
Р(АВ) = Р(А)Р(В) = Р(В)Р(А). (5)
Это объясняется тем, что в таком случае условные вероятности событий равны безусловным.
Вероятность произведения несовместных событий равна нулю, так как произведение таких событий не существует - на диаграмме Венна (рис. 20) отсутствует общая зона для событий А и В.: Р(АВ) = 0.
В общем виде для n событий формулы умножения приобретают вид:
а) для независимых событий
, (6)
б) для зависимых событий
n
Р(ПАi)=Р(А1)Р(А2 /А1)Р(А3 /А1А2)…Р(Аn /А1А2… Аn-1), (7)
i=1
где Р(Аn /А1А2… Аn-1) – условная вероятность события А n при условии, что произошли все остальные события.
Пример 13
От шинной сборки (рис.21) получают питание четыре электродвигателя (ЭД) различной мощности, коэффициенты включения kВ которых равны соответственно 0,5; 0,4; 0,2; 0,1. Считая, что ЭД включаются в сеть независимо один от другого, найти вероятность того, что нагрузка на трансформатор составит 100 кВт.
|
|
|
В электроснабжении под коэффициентом включения понимается вероятность включенного состояния ЭД в произвольно взятый момент времени.
Чтобы произошло событие, интересующее нас, (обозначим его как А), т. е. нагрузка на трансформатор составила 100 кВт, должны быть включены все четыре ЭД. Зная их коэффициенты включения, легко найти искомую вероятность, используя формулу умножения вероятностей для независимых событий:
Р(А) = kВ1 kВ2 kВ3 kВ4 =0,5∙0,4∙0,2∙0,1=0,004.
Отсюда следует важный вывод: при заданных коэффициентах включения ЭД нагрузка на трансформатор равна суммарной мощности всех ЭД только в течение 0,4% времени его эксплуатации.
Пример 14
Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что он успешно ответит подряд на три, заданные вразнобой, вопроса.
Пусть событие А – студент ответил на все три вопроса;
А1 – студент ответил на первый вопрос;
А2 – студент ответил успешно на второй вопрос;
А3 – студент ответил успешно на третий вопрос.
Чтобы событие А произошло, необходимо, чтобы студент успешно ответил И на первый вопрос (А1), И на второй вопрос (А2), И на третий вопрос (А3). То есть речь идёт о произведении событий. Учитывая, что успех в ответе на второй вопрос зависит от успешности ответа на первый (после первого вопроса количество задаваемых вопросов уменьшится на единицу, а также изменится доля известных студенту вопросов), необходимо воспользоваться формулой умножения для зависимых событий: Р(А)=Р(А1А2А3)=Р(А1)Р(А2/А1)Р(А3/А1 А2) = 
∙
∙
= 0,496.
