Формулы умножения вероятностей

Условная вероятность события

При решении некоторых задач приходится рассматривать события, являющиеся зависимыми. Для таких событий используются понятия условной и безусловной вероятности. Так, например, электродвигатель может эксплуатироваться в различных режимах: на холостом ходу, в режиме недогрузки, при номинальной нагрузке, в перегруженном состоянии. Естественно, вероятности отказа двигателя в разных состояниях не одинаковы. Если будут определены такие вероятности, то их следует называть условными, например, вероятность отказа двигателя в режиме перегрузки.

Условной вероятностью Р(В/А) события В при событии А называется вероятность события В, подсчитанная при условии, что событие А произошло.

Если же вероятность события В определяется вне зависимости от того, имело место событие А или нет, то эта вероятность называется безусловной и обозначается как Р(В).

В рассмотренном выше примере безусловной вероятностью отказа электродвигателя является вероятность его отказа, определенная вне зависимости от того, в каком режиме он эксплуатируется.

Нетрудно догадаться, что для независимых событий условная вероятность события равна его безусловной вероятности: Р(В/А)= Р(В). Это следует из того, что появление события А никак не влияет на возможность появления события В.

Основные формулы вычисления вероятности событий

Если в соответствии с понятиями алгебры событий некоторое событие С является произведением событий А и В (см. пример 3) С = АВ, то для нахождения вероятности этого события приходится искать вероятность произведения событий: Р(С) = Р(АВ). Для этих целей используется, так называемая формула умножения вероятностей.

Наиболее общий вид формулы умножения может быть получен для зависимых событий. Рассмотрим её для случая, когда таких событий два.

Пусть в результате опыта возможны n исходов, которые наглядно можно изобразить в виде семейства точек (рис. 19).

Из этих исходов m_A исходов благоприятны событию А, m_В исходов благоприятны событию В, причем m_AВ исходов благоприятны и событию А и событию В совместно. Следовательно, Р(А) = m_A/n; Р(В) = m_В/n; Р(АВ) = m_AВ/n.

Определим условную вероятность события В при событии А. Так как событие А произошло, то имел место один из m_A исходов. В таком случае событию В будут благоприятны m_AВ исходов. Тогда по классической формуле условная вероятность события В при событии А:

Р(В/А) = m_AВ/m_A.

Если теперь числитель и знаменатель в правой части выражения разделить на общее число возможных исходов опыта, то получим:

Р(В/А) = = Р(АВ)/Р(А).

Определив из полученного выражения Р(АВ), получаем формулу умножения вероятностей для зависимых событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А). (4, а)

Нетрудно представить, что если бы подобные рассуждения были проведены для нахождения условной вероятности события А при событии В, то в результате получился бы второй вариант формулы умножения для зависимых событий:

Р(АВ) = Р(В)Р(А/В). (4, б)

Таким образом, вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого.