Статистическая формула определения вероятности события

Примечание

Решение задач по определению вероятности события с использованием геометрических формул следует начинать с нахождения знаменателя(меры всей области), а затем выделять в этой области область, соответствующую искомому событию.

Статистика – это раздел математики, занимающийся вопросами сбора, первичной обработки и последующего анализа данных о массовых случайных явлениях.

В дальнейшем для обозначения величин, определяемых на основе статистических данных, к их обозначению будет добавляться знак *.

Необходимость в применении статистической формулы вычисления вероятности объясняется тем, что далеко не всегда исходы опытов укладываются в «схему случаев», обычно по причине их неравно возможности.

Статистическую формулу впервые четко сформулировал родоначальник семьи (в энциклопедиях упоминаются семеро её представителей) швейцарских ученых Якоб Бернулли (умер в 1583 г.).

Статистическая вероятность события Р*(А) есть отношение количества опытов n_А, в которых наблюдалось событие А, к количеству N проведенных опытов:

Р*(А) = n_А/N. (3)

В литературе по статистике число n_А называют эмпирической частотой, а статистическую вероятность Р*(А) – относительной частотой (частостью) событий.

Ограничений на использование статистической формулы нет. Однако важнейшей особенностью её применения является необходимость в реальном проведении опытов. Если при применении классической и геометрической формулы входящие в них значения могут быть определены умозрительно путем логических рассуждений, то статистическая формула предполагает наличие данных о действительно проведённых испытаниях.

Так как статистическая формула применима и в тех случаях, когда ответ задачи может быть найден по классической формуле, математиков занимал вопрос о взаимосвязи теоретической (классической) и статистической вероятности. В истории математики известно несколько примеров экспериментального установления такой взаимосвязи на примере простейшей задачи о подбрасывании монеты. Теоретическая вероятность выпадения герба при единичном подбрасывании монеты равна 0,5. Статистические вероятности, получавшиеся при проведении опытов различными исследователями (табл. 1), незначительно отличались от этого числа.

Анализ полученных результатов свидетельствует о том, что статистическая вероятность обладает высокой степенью устойчивости, т.е. незначительно меняется около теоретического значения вероятности. Это позволило Я. Бернулли дать пер вую простейшую формулировку важнейшего закона теории вероятностей – закона больших чисел. Эта формулировка сохраняет свою силу и по настоящее время; при неограниченном увеличении количества независимых однотипных опытов статистическая вероятность события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте. Иначе говоря, статистическое значение сходится по вероятности с теоретическим при неограниченном увеличении числа опытов.

Таблица 1. Результаты экспериментального определения вероятности выпадения герба при подбрасывании монеты

Если бы мы попытались самостоятельно провести подобный опыт с подбрасыванием монеты и оформили результат графически (рис. 18), то заметили бы, что при малом числе опытов (измеряемом единицам или десятками) относительная частота выпадения герба ещё достаточно заметно отличается от теоретической вероятности, и только когда число опытов достигнет сотен, колебания относительной частоты около теоретического значения вероятности станут незначительными.

По этой причине отождествлять понятия статистическая вероятность и относительная частота следует лишь при значительном количестве проведённых опытов. Иначе говоря, статистическая вероятность - это то число, около которого начинает колебаться относительная частота события при значительном числе опытов.

В начале ХХ века немецкий ученый Рихард Мизес предложил считать вероятность события пределом относительной частоты при количестве опытов, стремящемся к бесконечности:

Р(А)=lim Р*(А).

N→∞

Однако это определение является ошибочным. Когда речь идёт о пределе, то предполагается, что приближение к нему происходит с одной стороны и разность между переменной и пределом постоянно уменьшается. Когда речь идёт об относительной частоте, эти положения не выполняются. Кроме того, согласно Мизесу, вероятность не существует, если не существует исследователь, проводящий опыты, что противоречит здравому смыслу.

Пример 12

Анализируется работа устройств автоматического включения резервного питания (АВР) на подстанциях промышленного предприятия. На предприятии имеется 60 устройств АВР. В течение периода наблюдения (1 год) наблюдалось 76 успешных срабатываний устройств и 21 отказ этих устройств при необходимости срабатывания. Определить статистическую вероятность отказа устройств АВР при необходимости срабатывания.

В данной задаче количество опытов (режимов работы системы электроснабжения, требующих срабатывания устройств АВР) достаточно велико, поэтому применение статистической формулы определения вероятности события возможно:

q*_АВР = 21 / (76 + 21) = 0,216.