Вынужденные колебания

Формула для сложения колебаний в общем случае для плоских волн.

где фазовая модуляция равна

,

Картинки приведены для Е₁/E₂ = 1,31, 2, 0,2; 2.5, 0,25.

Видно сложное устройство суммарных колебаний.

Реальные колебания всегда являются затухающими, всегда происходит потеря энергии из-за наличия трения, из-за нагрева сопротивления.

Для получения незатухающих колебаний нужно возвращать системе потерянную энергию. Для этого на систему действует вынуждающая сила, причем для возникновения колебаний она должна быть периодической. Рассмотрим случай, когда сила меняется по гармоническому закону

.

По второму закону Ньютона для механических колебаний

,

(1)

- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решение таких уравнений состоит из двух слагаемых

Это решение стремится к нулю при больших временах и существенно только при переходных процессах. Мы будем рассматривать только установившиеся колебания, то есть ограничимся анализом частного решения. Частное решение имеет вид

,

где ,

.

Явление резонанса.

Это явление резкого увеличения амплитуды колебаний, когда частота вынуждающей силы близка к частоте собственных колебаний системы. Амплитуда является функцией частоты и будет максимальна, если знаменатель минимален. Исследуем знаменатель на экстремум. Берем от подкоренного выражения первую производную и приравняем ее нулю

. Тогда