Разбиения и покрытия множества

Отношение эквивалентности

Бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивность, симметричность, транзитивность называется отношением эквивалентности ( обозначается ~).

r= { (x, y) | x=y, x,y Î N },

r= { (x, y) | x=y(mod m), x,y Î N }.

На множестве людей: “иметь одно имя”, ”обучаться в одной студенческой группе ”.

На множестве множеств: “A=B”.

Покрытием непустого множества называется совокупность подмножеств таких, что:

Разбиением непустого множества называется совокупность подмножеств таких, что:

Класс эквивалентности для х: [ x ] = { y Î Х | x ~ y }.

Например:

Отношения r и g заданы на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}.

r= {(1,4), (2,5), (3,6), (4,1), (6,3)},

g = {(1,1), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,6)}.

Область определения D_r= {1, 2, 3, 4, 6}.

Область значений J _r= {1, 3, 4, 5, 6}.

Обратное отношение r^-1 = {(4,1), (5,2), (6,3), (1,4), (3,6)}.

Отношение r - антирефлексивно, не симметрично, не транзитивно.

Область определения D_g= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Область значений J _g= {1, 3, 4, 5, 6}.

Отношение g - не рефлексивно, антисимметрично, не транзитивно.

Композиция r ○ g = {(1,5), (2,6), (3,6), (4,1), (6,4)}.

Например:

Отношение r= {(x, y) | сравнение по модулю m, x,y Î N}.

Отношение сравнения по модулю m на множестве натуральных чисел:x = y mod m, что означает: “x и y имеют одинаковый остаток при делении на m (классы вычетов по модулю m)”.

Отрезок натурального ряда N₄={1,2,3,4}

Отношение сравнения по модулю 2 на N₄:

d = { (1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)}.

Область определения D_d = {1, 2, 3, 4}.

Область значений J _d = {1, 2, 3, 4}.

Отношение d - рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Отношение d - отношение эквивалентности.

Классы эквивалентности: [ 1 ]={ 1,3 }=[ 3 ]

[ 2 ]={ 2,4 }=[ 4 ].

Например:

Отношения j и n заданы на множестве N_4.

j ={ (1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)}

n={ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.

Область определения D_j = {1, 2, 3}.

Область значений J _j = {2, 3, 4}.

Отношение j - антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Отношение j - отношение строгого порядка.

Область определения D_n = {1, 2, 3,4}.

Область значений J _n = {1, 2, 3, 4}.

Отношение n - рефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно.

Отношение n - отношение нестрогого частичного порядка.

Отношение n - отношение эквивалентности.

Классы эквивалентности: [ 1 ]={ 1 }

[ 2 ]={ 2 }

[ 3 ]={ 3 }

[ 4 ]={ 4 }.