Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная величина Х с функцией распределения F (x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от х до х +х:

P (x < X < x + x <) = F (x + x) – F (x),

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке и будем приближать x к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

lim F (x + x) – F (x)/x = F^/ (x) = f (x)

x0

Функция f (x) - производная функции распределения - характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе "плотностью вероятности") непрерывной случайной величины X. Иногда функцию f (x) называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины X. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения. Плотность распределения, также как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной, она существует только для н.с.в.

f(x)

Х

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок dx, примыкающий к точке x. Вероятность попадания случайной величины X на этот участок равна f(x)d(x ). Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx (Рис. 1).

f (x) f (x)

f(x)

X X

Рис.1 Рис.2

Выразим вероятность попадания величины Х на отрезок от до (Рис. 2) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

Р(< X <) = f(x)dx

Геометрически вероятность попадания величины X на участок (, ) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок. Если выразить функцию распределения через плотность, то:

F (x) = P (-< X < x) = f(x)dx.

Геометрически F(x) есть площадь кривой распределения, лежащая левее точки x.

f(x)

х Х

Укажем основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: f(x)0. Это свойство вытекает непосредственно из того, что функция распределения есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: f(x)dx =1, так как F() = 1.

Геометрически это означает, что площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0,а). Необходимо:

а) написать выражение плотности распределения;

б) найти функцию распределения F(x);

в) найти вероятность попадания случайной величины X на участке от a/2 до a.

Решение. Используем свойства линейной функции у = кх + в: к = -2/аа (площадь треугольника S = а/2, у = 2/а); к= -2/а²;

f(x) = 2/a(1-x/a)

f(x)

0 при x < 0;

f(x) = 2/a(1-x/a) при 0xa;

0 при x > 0.

X

a

F(x) = 2/a(1-x/a)dx = 2/ax- x²/a² = x/a(2-x/a) ;

0 при х < 0;

F(x) = x/a(2-x/a) при 0 < x < a;

1 при х > a;

F(a) – F(a/2) =1 – 3/4 = 1/4.