Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение для д.с.в., и наибольшая плотность вероятности для н.с.в

f(x) P(x)

Mo(x) X Mo(x) Х

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет больше одного максимума, распределение называется "полимодальным". Иногда встречаются распределения, обладающие посредине не максимумом, а минимумом. Такие распределения называют "антимодальными". В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают.

Часто применяется и еще одна характеристика положения - так называемая медиана случайной величины. Этой характеристикой обычно пользуются для н.с.в., хотя формально ее можно определить и для д.с.в.

Медианой случайной величины Х называется такое ее значение Ме(х), удовлетворяющее условию: интеграл плотности вероятностей (сумма вероятностей) значений х, меньших Ме(х) равен интегралу плотности вероятностей (сумме вероятностей) значений х, больших Ме(х), т.е. для н.с.в.:

f(x)dx = f(x)dx = 1/2.

Геометрически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

f(x) S₁= S ₂= 1/2

Me(x) X

M(x), Mo(x), Me(x) - это характеристики положения.

Кроме характеристик положения - средних, типичных значений случайной величины, существуют еще характеристики рассеивания.

Основной числовой характеристикой рассеивания одномерной случайной величины X является дисперсия D(x).

Дисперсия – это сумма произведений квадратов отклонений случайной величины Х от ее математического ожидания на соответствующие вероятности.

Для д.с.в.: D(x) = [x_i – M(x)]²p(x_i) = xp(x_i)- [M(x)]²;

для н.с.в.: D(x) = [x_i- M(x)]²f(x)dx = x²f(x)d(x)- [M(x)]².

Весьма часто вместо дисперсии пользуются другой характеристикой, непосредственно с ней связанной, а именно, теоретическим средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) _х:

_х= D(x);

Удобство пользования средним квадратическим отклонением в качестве меры рассеивания вместо D(x) заключается в том, что оно выражается в тех же единицах измерения, что и сама величина X, тогда как дисперсия выражается в квадратах соответствующей единицы измерения.

Пример. Вычислить дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение _x по следующим данным:

Xi	X	P(xi)	XiP(xi)	XiP(xi)
		1/32
		5/32	5/32	5/32
		10/32	20/32	40/32
		10/32	30/32	90/32
		5/32	20/32	80/32
		1/32	5/32	25/32
			2,5	240/32

D(x) = 240/32 – 2,5² = 1,25; (x) = = 1,12.

Пример. Функция распределения случайной величины X задана графиком. Найти M(x) и D(x).

F(x)

1

a b X

Составим уравнение:

(x₂ – x₁)/(x₂ – x₁) = (y – y₁/(y₂ – y₁);

(x – a) /(b – a) = y;

0 при x < a; F(x)= (x – a)/ (b – a) при а < x b;

1 при x > b;

f(x) = F^I (x) = 1/(b – a); M(x) = [x/(b – a)] dx = x²/2(b – a)|= (b + a)/2; D(x) = [x²/(b – a)]dx – [(b + a)/2]² = x³/3(b – a)|=

= [(b³ – a³)/3(b – a)] – (a + b)²/4 = (a – b)²/4.

Пример. Выражение плотности распределения имеет вид:

f(x) = 2x при 0 < x < 1;

0 при x < 0, x > a;

Найти дисперсию.

D(x) = x²f(x)dx – [M(x)]², M(x) = 2/3 (см. пример на стр.)

D(x) = 2x⁴|- [2/3]² = (1 /2) - (2/3)² = 1/18.

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, подчиняющейся закону распределения Пуассона:

P(m) = (a^m/m!)e^a, m = 0, 1, …,

a – некоторая положительная величина, называемая параметром Пуассона.

M(x) = mP(m) = (ma^m/m!)e^-a,

при m = 1 первый член суммы равен единице.

M(x) = (ma^m/m!)e^-a = a e^-aa^m-1/(m-1)! = a e^-ae^a = a,

D(x) = [(m²a^m)/m!]e^-a – a², D(x) = a [ma^m-1/(m-1)!]e^-a – a²,

D(x) = a{[(m – 1) + 1]a^m-1/(m-1)!}e^-a – a² = aa +a – a².

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.