Доверительный интервал. Доверительная вероятность

В предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра одним числом. Такая оценка называется точечной. В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать - к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и замена на может привести к серьезным ошибкам. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными вероятностями и доверительными интервалами.

Пусть для параметра получена из опыта несмещенная оценка . Необходимо оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность(например, = 0,95; 0,99 или 0,99) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным и найдем такое значение , для которого

Р(|- | < ) =

Тогда диапазон прак­тически возможных значений ошибки, возникающей при замене на будет ; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью = 1- . Перепишем следующее уравнение в следующем виде:

P(-< < + ) =

Равенство означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

I =(-,+ ).

I

0 ₁ 2

Для нахождения доверительных интервалов необходимо знать заранее вид закона распределения величины X. Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка . Закон распределения оценки в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины X. Однако, иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины X к какой-либо другой функции наблюденных значений x₁,x₂,...,x_n закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов n и от закона распределения величины X. Такого рода случайные величины играют большую роль в математичес­кой статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормаль­ного распределения величины X.

Например, доказано, что при нормальном распределении величины X случайная величина t =[-М(x)]/

подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента, где:

/ n; = S/.

Исходя из этого уравнение , можно записать в следующем виде: P (- < M (x) < + ) = ;

Величина t,которая табулирована, определяется с помощью функции Лапласа. Например, если - уровень доверительной вероятности - принят равным 0,95, то величина t= 1,96. Следовательно, доверительный интервал будет иметь начальную точку M (x) –1,96 S / и конечную точку M (x) + 1,96 S / .

Внутри этого интервала будет находится неизвестное значение M(x) с вероятностью 0,95.

Примечание. Использование функции Лапласа для нахождения доверительных границ возможно лишь при n > 25. Для n < 25 необходимо исполь­зовать таблицы распределения Стьюдента.

Рассмотрим определение доверительных интервалов для оценки ² и . Для оценки ² используется распределение Пирсона ², которое также табулировано. Задавшись вероятностью и определив величину q = 1 - , определяют два значения ². Одно- для вероятности P₁ = 1 – q / 2, обозначив его , другое - для вероятности P₂ = q / 2 -.

Доверительные границы определяются, исходя из неравенства:

nS²/< ² < nS² /

Доверительные границы для с той же доверительной вероятностью определяются из неравенства:

nS /₂ < nS / ₁.

Примечание. Указанные способы определения доверительных границ могут быть применены и для случая, когда распределение случайной величины неизвестно заранее. Однако в этом случае границы будут определены лишь грубо, приближенно.