Уравнение Бернулли

Изучение движения реальных жидкостей и газов представляет собой сложную задачу. Поэтому для ее упрощения пренебрегают силами внутреннего трения. Воображаемая жидкость, в которой полностью отсутствует внутреннее трение называется идеальной.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Выделим объем жидкости, ограниченный стенками узкой трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями и (рис.4). За время этот объем сместится вдоль трубки тока,

причем граница сместится к , получив перемещение , а границак , получив перемещение . Работа, совершаемая при этом силами давления, равна приращению полной энергии в рассматриваемом объеме жидкости. Силы давления на стенки трубки тока перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения жидкости, и

поэтому работы не совершают. Отлична от нуля только работа сил давления, приложенная к сечениям и . Эта работа равна

= (1)

Вследствие несжимаемости жидкости за время через сечения и пройдет один и тот же объем жидкости, то есть . Тогда выражение (1) примет вид

(2)

Полная энергия рассматриваемого объема жидкости складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения. Вследствие стационарности течения полная энергия жидкости между сечениями и за время изменится за счет работы. Поэтому приращение полной энергии рассматриваемого объема равно разности значений полной энергии объемов и , масса которых , .- плотность жидкости.

Возьмем сечение трубки тока и перемещение настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать одно и то же значение скорости , давления и высоты Тогда для приращения полной энергии получается выражение

- (3)

Приравнивая выражения (2) и (3), сокращая на и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим

= (4)

Сечения и выбирались произвольно, поэтому для любого сечения

(5)

Выражение (5) выведено швейцарским физиком Даниилом Бернулли и получило название – уравнение Бернулли.

Несмотря на то, что уравнение выведено для идеальной жидкости, оно применимо для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина в формуле (5) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина - динамическим давлением, а величина - гидростатическим давлением. Для горизонтальной трубки тока выражение (5) принимает вид

= , (6)

то есть давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

Уменьшение давления в точках, где скорость больше, положено в основу устройства водоструйного насоса (см. рис. 5)

Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большой скоростью, поэтому давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубка. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объем, из него можно откачать воздух до давления порядка 100 мм рт. ст. (ртутного столба).

Рис. 5.

Сумма статического и динамического давления называется полным давлением

.

Для измерения полного давления используется трубка Пито. Это небольшая изогнутая манометрическая трубка, обращенная открытым концом навстречу потоку жидкости (см. рис. 6) Линии тока, направленные к трубке Пито, заканчиваются внутри трубки, где жидкость покоится, то есть скорость жидкости изменяется отдо 0. Высота столба жидкости, устанавливающаяся в трубке является поэтому мерой максимального давления, то есть полного напора жидкости .

Рис.6.

Для измерения статического давления в поток вводят изогнутую трубку с закрытым концом и боковым отверстием (см. рис.7).

	Такая трубка называется зондом. Скорость жидкости вблизи отверстия (а следовательно и давление) будет мало отличаться от скорости (и давления) в невозмущенном потоке. Поэтому манометр, присоединенный к зонду покажет статическое давление .
Рис. 7

Прандтль трубку Пито соединил с зондом (см. рис. 8) Получившийся прибор измеряет

	разность полного и статистического давления, то есть динамическое давление . Для заданной плотности манометр можно проградуировать в значениях скорости. Поэтому трубка Пито-Прандтля может служить прибором для измерения скорости течения жидкости или газа.
Рис.8.