Эконометрическая модель и проблемы эконометрического моделирования

Прежде чем рассматривать вопрос о построении эконометрической модели, остановимся на математической модели. Математическая модель – это абстракция реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами замещены подходящими отношениями между математическими категориями. Эти отношения, как правило, представлены в виде уравнений и (или) неравенств между показателями (переменными), характеризующими функционирование моделируемой реальной системы. Искусство построения математической модели состоит в том, чтобы лаконично и с достаточной точностью воспроизвести математическое описание модели (тех сторон анализируемой реальности), которая интересует исследователя.

Математические модели делят на вероятностные и вероятностно-статистические.

Вероятностная модель – это математическая модель, имитирующая механизм функционирования гипотетического ( не конкретного) реального явления (или системы) стохастической природы.

Вероятностно-статистическая модель – это такая модель, значения отдельных характеристик (параметров) которой оцениваются по результатам наблюдений (исходным статистическим данным), характеризующим функционирование моделируемого конкретного (а не гипотетического) явления (или системы).

Вероятностно-статистическая модель, описывающая механизм функционирования экономической или социально-экономической системы, называется эконометрической. Если же речь идет о любой математической модели, описывающей механизм функционирования некой гипотетической экономической или социально-экономической системы, то такую модель принято называть экономико-математической или просто экономической.

Первая же принципиальная идея, с которой приходится сталкиваться каждому, кто изучает экономику, – это идея о взаимосвязях между экономическими переменными. Формирующийся на рынке спрос на некоторый товар рассматривается как функция его цены; затраты, связанные с изготовлением какого-либо продукта, предполагающиеся зависящими от объёма производства; потребительские расходы, которые могут быть функцией дохода и т.д. Все это – примеры связей между двумя переменными, одна из которых (спрос на товар, производственные затраты, потребительские расходы) играет роль объясняемой переменной (или результирующего показателя), а другие интерпретируются как объясняющие переменные ( или факторы-аргументы). Однако для большей реальности в каждое такое соотношение приходится вводить несколько объясняющих переменных и остаточную случайную составляющую, отражающую влияние на показатель всех неучтенных факторов. Спрос на товар можно рассматривать как функцию его цены, потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары; производственные затраты будут зависеть от объёма производства, от его динамики и от цен на основные производственные ресурсы; потребительские расходы можно определить как функцию дохода, ликвидных активов и предыдущего уровня потребления. При этом участвующая в каждом из этих соотношений случайная составляющая, отражающая влияние на анализируемый результирующий показатель всех неучтенных факторов, обусловливает стохастический характер зависимости, а именно: даже зафиксировав на определенных уровнях значения объясняющих переменных, скажем, цены на товар и конкурирующие с ним или дополняющие товары, а также потребительский доход, мы не можем ожидать, что тем самым однозначно определяется спрос на этот товар. Другими словами, переходя в своих наблюдениях спроса от одного временного или пространственного такта к другому, мы обнаружим случайное варьирование величины спроса около некоторого уровня даже при сохранении значений всех объясняющих переменных неизменными.

В прикладном статистическом анализе рассматриваются различные варианты формализации понятия стохастической зависимости между результирующим показателем y и объясняющими переменными x(1), x(2), …,x(n).

В эконометрических приложениях чаще всего представлена аддитивная линейная форма стохастической зависимости, которая и будет главным предметом исследования:

y_t = θ₀ + θ₁x_t⁽¹⁾ +... + θ_px_t^(p) + δ_t. (1)

Здесь y_t – значение результирующей (объясняемой) переменной, измеренное в t-м временном (или пространственном) такте, x_t⁽¹⁾, x_t⁽²⁾,..., x_t^(p) – значения участвующих в соотношении объясняющих переменных, полученных в том же t-м измерении, θ₀, θ₁, …, θ_p, – некоторые параметры, как правило, не известны до проведения соответствующего статистического анализа, а δ_t – случайная составляющая, характеризующая разницу между модельным и наблюдаемым значениями анализируемой результирующей переменной, зафиксированной в t-м измерении. Под модельным значением результирующей переменной будем понимать её значение, восстановленное по заданным величинам объясняющих переменных при условии, что коэффициенты θ₀, θ₁, …, θ_p нам известны, т.е.

= θ₀ + θ₁x_t⁽¹⁾ +... + θ_px_t^(p).

При такой интерпретации модельного значения результирующей переменной случайную составляющую δ_t можно интерпретировать как случайную ошибку прогноза y по заданным значениям x_t⁽¹⁾, x_t⁽²⁾,..., x_t^(p), причем, чтобы исключить систематическую ошибку в оценке y_t по , обычно полагают, что среднее значение случайной составляющей δ_t при всех значениях t равно нулю (Eδ_t=0). Очевидно, что чем больше информации заключено в значениях объясняющих переменных x_t⁽¹⁾, x_t⁽²⁾,..., x_t^(p) относительно величины y, тем надежнее будет прогноз и тем меньше будет ошибка прогноза δ. А что означает малость случайной величины? Это значит, что её значения сосредоточены в окрестности нуля с малой дисперсией.

Следующий шаг в развитии экономических теорий предполагает группировку отдельных соотношений в модель. Всякая математическая модель является упрощенным формализованным представлением реального объекта (явления, процесса), и искусство её построения состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность параметризации модели с достаточной адекватностью описания именно тех сторон моделируемой реальности, которые интересуют исследователя. Количество связей, включаемых в эконометрическую модель, зависит от условий, при которых эта модель конструируется.

Например, традиционная модель спроса и предложения должна отражать соотношения между ценой и объёмом выпуска, характерные для некоторого определенного рынка. Она содержит три уравнения, а именно:

− спроса;

− предложения;

− реакции рынка.

В эти уравнения кроме интересующих нас объёма выпуска и цены будут входить и другие переменные; так, например, в уравнение спроса войдет потребительский доход, а в уравнение предложения – цена. Объяснение, полученное с помощью такой модели, обусловлено значениями некоторых “внешних” по отношению к модели переменных, и в этом смысле модель является неполной, или условной. Более претенциозные модели содержат гораздо больше уравнений, и с их помощью пытаются отразить поведение существенно большего числа переменных; однако и они остаются условными, поскольку тоже содержат переменные, не определяемые или не объясняемые моделью.

Все эконометрические модели независимо от того, относятся они ко всему хозяйству или к его элементам (макроэкономике, отрасли, фирме или рынку), имеют некоторые общие особенности.

Во-первых, они основаны на предположении, что поведение экономических переменных определяется с помощью совместных и одновременных операций с некоторым числом экономических соотношений.

Во-вторых, принимается гипотеза, в силу которой модель, допуская упрощение сложной действительности, тем не менее отражает главные характеристики изучаемого объекта.

В-третьих, создатель модели полагает, что на основе достигнутого с её помощью понимания реальной системы удастся предсказать её будущее движение и, возможно, управлять им в целях экономического благосостояния.

Чтобы проиллюстрировать сказанное и наметить пути для выяснения специфической роли эконометрии, рассмотрим пример весьма общей и приближенной макромодели.

П р и м е р 1.

Предположим, что экономист-теоретик сформулировал следующие положения:

– потребление есть возрастающая функция от имеющегося в наличии дохода, но возрастающая, видимо, медленнее, чем рост дохода;

– объём инвестиций есть возрастающая функция национального дохода и убывающая функция характеристики государственного регулирования (например, нормы процента);

– национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг.

Наша задача – перевести эти положения на математический язык. Здесь мы сталкиваемся с многообразием открывающихся перед нами возможных способов удовлетворения сформулированным априорным требованиям теоретика. Какие соотношения выбрать между переменными – линейные или нелинейные? Если остановиться на нелинейных, то какими они должны быть – логарифмическими, полиномиальными или какими либо ещё? Даже определив форму конкретного соотношения, мы оставляем еще нерешенной проблему выбора для различных уравнений запаздывания по времени. Будут ли, например, инвестиции текущего периода реагировать только на национальный доход, произведенный в последнем периоде, или же на них скажется динамика нескольких предыдущих периодов? Обычный выход из этих трудностей состоит в выборе при первоначальном анализе наиболее простой из возможных форм этих соотношений. Тогда появляется возможность записать на основе указанных выше положений следующие линейную относительно анализируемых переменных и аддитивную относительно случайных составляющих модели:

y_t⁽¹⁾ = α₀ + α₁(y_t⁽³⁾ - x_t⁽¹⁾) + δ_t⁽¹⁾; (2)

y_t⁽²⁾ = β₁ y_t-1⁽³⁾ + β₂ x_t⁽²⁾ + δ_t⁽²⁾; (3)

y_t⁽³⁾ = y_t⁽¹⁾ + y_t⁽²⁾ + x_t⁽³⁾, (4)

где априорные ограничения выражены неравенствами:

0 < α₁ < 1; β₁ > 0; β₂ < 0.

Эти три соотношения вместе с ограничениями образуют модель.

В ней обозначают: потребление; y_t⁽²⁾ – инвестиции; y_t⁽³⁾ – национальный доход; x_t⁽¹⁾ – подоходный налог; x_t⁽²⁾ – норму процента как инструмент государственного регулирования; x_t⁽³⁾ – государственные закупки товаров и услуг, измеренные в “момент времени” t.

Присутствие в уравнениях (2) и (3) «остаточных» случайных составляющих δ_t⁽¹⁾ и δ_t⁽¹⁾ обусловлено необходимостью учесть влияние соответственно на y_t⁽¹⁾ и y_t⁽²⁾ ряда неучтенных факторов. Действительно, нереалистично ожидать, что величина потребления y_t⁽¹⁾ будет однозначно определяться уровнями национального дохода (y_t⁽³⁾) и подоходного налога (x_t⁽¹⁾); аналогично величина инвестиций y_t⁽²⁾ зависит, очевидно, не только от достигнутого в предыдущий год уровня национального дохода (y_t-1⁽³⁾)и от величины нормы процента (x_t⁽²⁾), но и от ряда не учтенных в уравнении (3) факторов.

Полученная модель содержит два уравнения, объясняющие поведение потребителей и инвесторов, и одно тождество. Она построена для дискретных периодов времени, и в ней выбрано запаздывание (лаг) в один период для отражения воздействия национального дохода на инвестиции.