Формулы Кардано. Метод Феррари

Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени.

I. . 1) – нет решений;

2) , – бесконечно много решений;

3) , – единственное решение.

II. , () .

III. , (). Перейдем к приведенному кубическому уравнению:

, и произведем замену неизвесной: .

тогда: ; ; ,

.

Подставляя полученные выражения в уравнение, получим:

Þ .

Получается неполное кубическое уравнение, в котором

; .

Решение получившегося неполного кубического уравнения ищем в виде: .

Тогда Þ

И, следовательно: .

Положив , получим систему уравнений .

т.е. и являются корнями квадратного уравнения .

Решая это уравнение, найдем

Þ ; .

Полученные три значении и три значения не могут суммироваться в произвольных сочетаниях. Они должны удовлетворять соотношению . Оказывается, есть ровно три пары и , удовлетворяющих этому соотношению.

Отсюда , Найдены три корня кубического уравнения.

.

Это и есть формулы Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Полагая , получим неполное кубическое уравнение . К этому уравнению можно применить формулы Кардано. Здесь , поэтому

.

Одним из значений этого кубического корня будет число 3. Произведение этого значения на соответствующее ему значение другого кубического корня, входящего в формулу, должно равняться числу , т.е. в нашем случае равняться числу (–3). Искомым значением второго корня будет, следовательно, число (–1) и поэтому . Разделив неполное уравнение на (), получим квадратное уравнение с корнями .

Тогда корнями исходного кубического уравнения будут:.

Пример 2. Решить уравнение .

Здесь . Тогда:

.

Корнями данного кубического уравнения будут .

Решение этого уравнения показывает, что далеко не всегда корни кубического уравнения (даже если они вполне благополучные) удается найти так просто, как хотелось бы.

IV. Рассматриваем уравнение четвертой степени:

, .

Мы приведем решение, полученное Феррари.

Приведенное уравнение имеет вид: .

Осуществляя замену переменной: ; , получим неполное уравнение четвертой степени: .

Запишем уравнение в виде: .

Введем параметр так, чтобы:

.

Потребуем, чтобы было полным квадратом, тогда идея

состоит в том, чтобы представить полученное уравнение в виде разности квадратов

, с последующим разложением его в произведение и решением получившихся квадратных уравнений.

Для реализации этой идеи дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.

. Тогда Þ

Þ Þ .

и для нахождения имеем кубическое уравнение: .

При этом, если ; и если ;

т.е. уравнение обязательно имеет положительный корень.