Еще о функциях комплексного переменного

1°. Линейная функция ; .

Если записать a в показательной форме то: – поворот на угол ,

гомотетия с коэффициентом k и центром в начале координат, – сдвиг плоскости на вектор b.

Таким образом, линейная функция осуществляет поворот комплексной плоскости z с растяжением (сжатием) и последующим параллельным переносом. Линейная функция задает взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и комплексной плоскостью w. При этом она преобразует прямые в прямые, сохраняя угол между ними и окружности в окружности, т.е. осуществляет конформное отображение комплексной плоскости z в комплексную плоскость w.

2°. Степенная функция ; .

Записав z в показательной форме: получим .

При этом окружности радиусом k отображаются в окружности радиуса , а лучи исходящие из начала координат и образующие угол с осью абсцисс переходят в лучи из начала координат и образующие угол с осью абсцисс.

Таким образом: сектор в плоскости z переходит во всю плоскость , сектор в плоскости z также переходит во всю плоскость и т.д. Следовательно, геометрический образ плоскости z при отображении представляет собой плоскость , повторенную n раз.

Из сказанного выше следует, что отображение не осуществляет взаимно однозначного отображения между плоскостью z и плоскостью . Однако, если в качестве геометриче-ского образа функции рассматривать более сложное многообразие, чем обычную комплексную плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения.

Будем считать, что мы имеем n экземпляров (листов) плоскости , разрезанной по положительной части действительной оси, на каждом из которых изменяется в пределах . Сектору плоскости z функция ставит в соответствие k -й лист плоскости ; луч переходит в верхний берег разреза k -го листа, а луч – в нижний берег разреза этого же k -го листа. Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости z соответствовало непрерывное точки на данном многообразии (смотри рисунок). Для этого заметим, что нижний берег разреза k -го листа и верхний берег разреза -го листа имеют один и тот же аргумент . Когда точка z в своем непрерывном движении по плоскости z переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка переходит с одного листа плоскости на следующий лист. Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза k -го листа с верхним берегом разреза -го листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза 1-го листа и нижний берег разреза -го листа. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки , последовательно пройдя все секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка пройдет листов и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить оставшиеся свободными берега разрезов на 1-ом и -ом листах. Тем самым полной плоскости z функция ставит в соответствие листов плоскости , склеенных указанным выше способом. Такое геометрическое многообразие представляет собой -листную риманову поверхность, а функция является -листной функцией. Функция осуществляет взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и

-листной римановой поверхностью.

3°. Корень натуральной степени .

; .

Функция является многозначной и осуществляет взаимно однозначное соответствие между -листной римановой поверхностью и комплексной плоскостью z. При этом k -й лист римановой поверхности переходит в сектор плоскости z.

4°. Показательная функция (экспонента): ;

Основное свойство показательной функции . Тогда

.

Для вещественных значений значения показательной функции комплексного аргумента совпадают со значением вещественной показательной функции вещественного аргумента.

Функция периодична с чисто мнимым периодом : .

Тогда: .

Взаимная однозначность отображения достигается, если ограничиться, скажем, полосой .

Горизонтальная прямая при отображении переходит в луч , в частности, действительная прямая y =0 (как и всякая прямая ) переходит в вещественную положительную полупрямую ,а прямая – в вещественную отрицательную полупрямую. Значит, полоса в плоскости z переходит во всю плоскость w. Полоса в плоскости z также переходит во всю плоскость w.

Отрезки () отображаются на окружности , в частности отрезок мнимой оси переходит в единичную окружность .

Полуполоса , отображается на внешность единичного круга .

Полуполоса , отображается на внутренность единичного круга .

Полоса отображается на верхнюю полуплоскость , полоса – на нижнюю полуплоскость.

Из выше сказанного заключаем, что геометрический образ плоскости z при отображении представляет собой плоскость , повторенную бесконечное число раз.

Тем самым полной плоскости z функция ставит в соответствие бесконечное число листов плоскости , склеенных способом, аналогичным тому который применялся для степенной функции, за исключением того, что теперь этих листом бесконечно много как снизу, так и сверху.

Такое геометрическое многообразие представляет собой бесконечно листную риманову поверхность, а функция является бесконечно листной функцией. Функция осуществляет взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и бесконечно листной римановой поверхностью.

5°. Л огарифмическая функция: ;

Логарифмическая функция является функцией обратной показательной функцией и, поэтому, является функцией многозначной: ; .

Она осуществляет взаимно однозначное соответствие между бесконечно листной римановой поверхностью и плоскостью w, при этом каждый лист римановой поверхности переходит в горизонтальную полосу .