6.
5°.. 6°..
Теория.
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
Основные свойства и графики.
Степенная, показательная, логарифмическая функции.
5.
Свойства операции возведения в степень:
1°. . 2°. .
3°. . 4°. .
Свойства операции нахождения логарифма:
0°. Основное логарифмическое тождество: . Свойство является, по сути дела, оп-
ределением операции логарифмирования.
1°. . 2°. .
3°. . 4°. .
5°. . 6°. .
Показательной функцией называется функция .Ее свойства:
1. Область определения .
2. Область значений .
3. .
4. ,
.
На приведенных рисунках видим графики показательных функций с различными основаниями: слева – с основаниями , справа – с основаниями .
При этом, сплошной линией изображены графики показательной функции с основаниями , а крестиками – с основаниями .
Показательная функция определена для любых вещественных значениях показателя степени и принимает только положительные значения, что и указано в свойствах 1 и 2 показательной функции. Графики всех показательных функций проходят через точку с координатами (свойство 3).
|
|
Свойство 4 показательной функции говорит о том, что при основаниях больших единицы показательная функция есть функция возрастающая, а при основаниях меньших единицы – убывающая.
Логарифмической функцией называется функция вида
, являющаяся функцией обратной показательной функции с тем же основанием.
Свойства логарифмической функции:
1. Область определения .
2. Область значений .
3. .
4. ,
.
Свойства 1 и 2 показывают, что область определения и область значений показательной функции для логарифмической функции поменялись местами, что и естественно ибо это взаимно обратные функции.
Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (свойство 3).
Свойство 4 показательной функции указывает на то, что при основаниях больших единицы логарифмическая функция есть функция возрастающая, а при основаниях меньших единицы – убывающая.
На приведенных рисунках видим графики логарифмических функций с различными основаниями: сверху – с основаниями , снизу – с основаниями .
При этом, сплошной линией изображены графики логарифмической функции с основаниями , а крестиками – с основаниями .
И, наконец:
Общая схема решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
1. Переход к одному и тому же основанию во всех показательных (логарифмических)функциях, входящих в данное уравнение.
2. Переход к одному и тому же показателю степени (выражению под знаком логарифма).
3. Замена показательной (логарифмической) функции новой переменной.
|
|
4. Решение получившегося уравнения или неравенства относительно новой переменной.
5. Обратная замена и возврат к показательным (логарифмическим) функциям.
6. Решение простейших показательных (логарифмических)уравнений или неравенств.
Задачи для решения:1*, 2*, …, 24*
Решить следующие показательные неравенства:
1*. 25– х + 5– х +1 ³ 50; 2*. ;
3*. ; 4*. 98 – ;
5*. ; 6*. ;
7*. ; 8*. ;
9*. ; 10*. ;
11*. ; 12*. ;
13*. ;
Решить следующие логарифмические неравенства:
14*. ; 15*. ;
16*. ; 17*. ;
18*. ;
19*. ; 20*. ;
21*. ; 22*. ;
23*. ; 24*. .