3.
Теория
2.
Свойства функции y = ax 2 + bx + c. Квадратные уравнения и задачи связанные с исследованием квадратичных функций.
Формулы для запоминания:
Для уравнения : ,если .
Для уравнения : ,если .
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и его знак определяет количество вещественных корней квадратного уравнения.
Т°.(Виета). Для квадратного уравнения , имеющего корни выполняются соотношения: . Для приведенного квадратного уравнения , имеющего корни выполняются соотношения: .
Т°.(обратная теореме Виета). Если для двух произвольных вещественных чисел выполнены соотношения , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .
Т°. Квадратный трехчлен , для которого может быть разложен на линейные множители , где – корни квадратного уравнения .
Графиком функции является парабола ветвями вверх при и, ветвями вниз при . Кроме того, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, если ,касается оси абсцисс не пересекая ее, если и не пересекает ось абсцисс если .
|
|
При построении графика функции полезно помнить, что:
а) вертикальная прямая является осью симметрии параболы;
б) парабола пересекается с осью симметрии в точке, которая называется вершиной параболы и имеет координаты .
в) если , то парабола пересекается с осью абсцисс в двух точках с координатами ; если ,то эти точки совпадают между собой и совпадают с вершиной параболы; если ,то парабола не имеет общих точек с осью абсцисс.
г) парабола пересекает ось ординат в точке с координатами ; вместе с этой точкой на параболе лежит и точка , симметричная ей относительно оси параболы.
Задачи для решения:1*, 2*, …, 14*
1*. Найти все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения равна сумме квадратов этих корней.
2*. Не решая уравнения , установить значения параметра а, при которых один из корней уравнения в два раза больше другого.
3*. Решить следующие уравнения, используя то, что они имеют общий корень:
и .
4*. Определить при каких значениях параметра а, один из корней уравнения
равен (–1). Найти остальные корни этого уравнения при установленных значениях параметра а.
5*. Найти р и q если известно, что среди корней уравнения: x4 – 10x3 + 37x2 + px +q = 0 есть две пары равных между собой чисел.
6*. При каких m неравенство выполнено для любых х.
7*. При каких m корни уравнения: x2 + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 отрицательны.
8*. При каких m корни уравнения: 4x2 – (3m + 1)x – m – 2 = 0 заключены в промежутке x Î[–1, 2].
9*. Найти коэффициенты уравнения x2 + px + q = 0 при условии, что разность его корней равна 5, а разность их кубов равна 35.
10*. При каком значении а оба корня уравнения
|
|
х2 – (а + 1)х + а + 4 = 0 будут положительны.
11*. При каких значениях m неравенство выполняется для любых значений х.
12*. При каких n корни уравнения: (n – 2)x2 – 2nx + n + 3 = 0 находятся на промежутке x Î[1, 4].
13*. При каких m неравенство выполняется для любых значений х.
14*. При каких р система неравенств выполняется для любых х:
.