Линейные преобразования пространства. Матрица линейного преобразования. Связь между координатами образа и прообраза

Рассмотрим линейное пространство V, в котором каждому элементу x, в силу некоторого закона поставлен элемент этого же пространства.

- прообраз

- образ

Каждому прообразу соответствует единственный образ.

Каждый образ имеет единственный прообраз.

Линейное преобразование пространства, при котором существует взаимнооднозначные соответствия.

Блективное преобразование – называется линейным, если выполняются 2 условия.

1.

2.

Рассмотрим n-мерное линейное пространство

Для того, чтобы задать линейные преобразования в этом пространстве достаточно задать это преобразование для базисных векторов.

Матрица линейного преобразования.

Пусть F – линейное преобразование линейного пространства, переводящая базис в базис . Т.к. - базис, то верны соотношения

А – является матрицей линейного преобразования или линейным оператором пространства.

Связь между координатами образа и прообраза.

В базисе вектор имеет координаты

Линейное преобразование – матрица линейного оператора.

Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора и наоборот.

Если имеется квадратная матрица задано линейное преобразование пространства.