Определители

Упражнение 9.

Упражнение 8.

Упражнение 7.

Упражнение 4.

Элементa_n,n=m¹0 (почему?) Но его, в отличие от предыдущих диагональных элементов, мы уже не можем сделать равным 1. Каким же образом мы тогда добиваемся равенства нулю всех остальных элементов последнего столбца?

Итак, мы доказали теорему: для произвольной невырожденной матрицы А можно умножением на подходящую унимодулярную матрицу слева добиться того, что она станет равной матрице D(m) которая от единичной матрицы отличается только тем, что у неё в правом нижнем углу стоит некоторый ненулевой элемент m поля F. BA=D(m); или, иначе говоря, каждая невырожденная матрица А представима (разлагается в произведение) в виде А=В×D(m), где ВÎSL(n,F) – унимодулярная матрица.

Матрицы D обладают следующим свойством:
Упражнение 5. D(l)×D(m)=D(lm). (Проверьте).
Упражнение 6.
Пусть нужно умножить i-ую строку матрицы А на некоторый элемент l поля F. Как выглядит матрица B_i(l) умножение на которую слева осуществляет это действие?

Как, умножениями слева на элементарные матрицы вида B_i,j(l), i≠j, и, если необходимо, ещё на матрицу B_i(-1), добиться перестановки i-ой и j-ой строк матрицы А? Напишите соответствующую последовательность умножений и результирующую матрицу.

Комбинируя умножения на элементарные матрицы вида B_i,j(l) и матрицы вида B_i(l), мы в конце концов, любую невырожденную матрицу А превратим в единичную: В₁В₂...В_rA=E. Умножим справа это равенство на матрицу А^-1, обратную к А:

В₁В₂...В_rAА^-1=EА^-1 или В₁В₂...В_rЕ=А^-1.

Таким образом, мы получаем способ построения матрицы, обратной к данной матрице А: надо производить с матрицей А элементарные преобразования – прибавлять к одной строке линейную комбинацию других, переставлять строки местами, умножать строки на числа, стараясь превратить матрицу А в единичную матрицу и параллельно производить те же действия над единичной матрицей. В тот момент, когда матрица А станет единичной, единичная матрица превратится в обратную к ней.

Найдите матрицу, обратную к матрице А=.

Найдите матрицу, обратную к матрице А=

Начнём издалека, с самого начала, беглым обзором охватив весь путь, приводящий к построению теории определителей – важнейшего инструмента в исследовании линейных преобразований (и не только них).

2.1 Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными (1),
мы обнаружили, что имеет она единственное решение (пару элементов х₁, х₂ поля F или, говоря иначе, вектор (x₁,x₂)ÎF²) в том и только в том случае, если величина a₁₁ × a₂₂-a₁₂ × a₂₁¹0. Эту величину мы назвали определителем матрицы А=,
а саму систему переписали в векторном виде: или АХ = В, где Х и В – вектора (искомый и данный соответственно), а А – линейный оператор, соответствующий матрице А в стандартном базисе.
Если мы исключим из системы (1) неизвестное х₂, умножив первое уравнение на a₂₂, второе на (-a₁₂) и сложив, то получим . Правая часть – это тоже определитель, определитель матрицы . Получаем в итоге: и, аналогично, . (2)
Теперь рассмотрим систему двух однородных уравнений с тремя неизвестными:
(3)
Если мы найдём хотя бы одно ненулевое решение этой системы – вектор х =(х₁,х₂,х₃), то решением будет и любой коллинеарный ему вектор a х =(aх₁,aх₂,aх₃), то есть вся прямая, содержащая вектор х или порождённая вектором х (его линейная оболочка, в данном случае – одномерное подпространство F³). Если ненулевое решение существует, то хотя бы один из х_i¹0 i=1,2,3. Допустим, что это так и х₃¹0. Тогда разделив уравнения на х₃ и введя новые переменные y₁=-x₁/x₃; y₂=-x₂/x₃ получим систему, которую мы уже умеем решать. В качестве порождающего одномерное пространство всех решений системы (3) вектора можно взять вектор с координатами x₁=, x₂=-, x₃= (4).

Упражнение 10.
Формулы (4) были выведены в предположении, что ¹0. Докажите, что они имеют место, если хотя бы один (любой) из этих трёх определителей ¹0. Приведите пример, когда в случае равенства нулю всех трёх определителей у системы (3) имеются ненулевые решения.

2.2 Переходим к системам трёх уравнений с тремя неизвестными:
(5)
Решим её также как и систему двух уравнений с двумя неизвестными методом Гаусса исключения неизвестных. Подберём множители с₁, с₂ и с₃ так, чтобы умножив на них соответственно первое, второе и третье уравнения и затем сложив, мы бы избавились от неизвестных х₂ и х₃. Это приводит нас к системе двух однородных уравнений с тремя неизвестными - с₁, с₂ и с₃, аналогичную системе (3): .
После решения в соответствии с (4) и подстановки в первое уравнение, получим:
(6).
Таким образом, | | третьего порядка определяется при помощи определителей второго порядка: (7).
Графически выражение в правой части (7) получается разложением определителя в левой части по первому столбцу:
Именно: берётся элемент из первого столбца с соответствующим знаком (весь определитель размечен в шахматном порядке знаками «+» и «-» начиная с левого верхнего угла, в который помещён знак «+») и умножается на определитель на единицу меньшего порядка (в данном случае – второго) который получается, если вычеркнуть тот столбец и ту строку, в которой стоит этот элемент.
Def. Определитель матрицы, получающийся вычёркиванием из матрицы А=(a_i,j) i-ой строки и j-го столбца называется минором М_i,j матрицы А, соответствующим элементу a_i,j. А_i,j=(-1)^i+jM_i,j называется алгебраическим дополнением элемента a_i,j.
Появляется возможность, продолжая действовать в том же духе, получать уравнения и определители всё больших порядков, опираясь на уже известные формулы и определители меньших порядков.
Def. Итак, первое (индуктивное) определение определителя n-го порядка:
detA = a_1,1M_1,1-a_2,1M_2,1+a_3,1M_3,1-…+(-1)ⁿ⁺¹a_n,1M_n,1=a_1,1A_1,1+a_2,1A_2,1+a_3,1A_3,1+…+a_n,1A_n,1.
В этом разложении (по первому столбцу) все миноры, а, соответственно, и все алгебраические дополнения уже определены к этому моменту, так как они – определители (n-1)-го порядка.

Упражнение 11 *.
Докажите, что тот же результат получится, если разлагать исходный определитель не по первому, а по любому столбцу, а также и по любой строке.
Упражнение 12 *.
Докажите, что определённая таким образом функция на квадратных матрицах является линейной функцией как строк, так и столбцов матриц А=(a_i,j) n-го порядка.
Упражнение 13.
Докажите, что функция detA на матрицах n-го порядка является кососимметрической функцией как строк, так и столбцов этих матриц (то есть, меняет знак при перестановке любых двух строк или столбцов).
Возвращаясь к уравнению (6), обратите внимание, что правая часть этого уравнения является также разложением по первому столбцу определителя, в котором первый столбец в определителе третьего порядка из (7) заменён столбцом из правых частей системы (5). Таким образом, получаем формулы для корней системы (5):
и, аналогично, и (8).
Формулы (2) и (8) называются формулами Крамера для определителей второго и третьего порядка соответственно. Мы ожидаем, естественно, что эти правила сохранятся и для определителей высших порядков.
Этим, по крайней мере, теоретически, будет закрыт вопрос о корнях линейной системы из n уравнений с n неизвестными ранга n.
Проведём надлежащую подготовку к доказательству этой гипотезы.

2.3 Забудем на время о том определении определителя (индуктивном), которое у нас уже было, и вспомним, наоборот, о том результате, к которому мы пришли в конце конспекта «Vector spaces-I»; упражнения 70-74.
Итак, мы искали функцию, полилинейную на векторах-строках
A₁, A₂, …,A_n матриц ; А={A₁,A₂,…,A_n}; A_i={a_i1,a_i2,…,a_in} и обладающей свойством обращаться в нуль в случае равенства двух каких-либо векторов-строк:
f(*,X,*,X,*)=0, где звёздочками отмечены строки с номерами, ¹ i или j в которых стоят строки с одинаковыми значениями, равными Х.
Мы выяснили, что это свойство эквивалентно кососимметричности функции f (свойству менять знак при перестановке любых двух своих аргументов).
Упражнение 14. Вспомнить и снова доказать это утверждение.
Как мы проверяли, для матриц второго и третьего порядков эта функция, если ещё добавить к ней нормировочное требование принимать значение 1 на единичной матрице, совпадает с определением определителей для этих матриц, полученным в п. 2.1 и 2.2. Как нам ещё докажет это для произвольных матриц (n-го порядка) Андрей Кириллович, (последнее, завершающее конспект «Vector spaces-I» упражнение 74) эти два условия уже однозначно, с необходимостью приводят нас к выражению функции f через координаты матрицы А=(a_i,j) следующим образом:
f(A)=f(E). (DET1)
Сумма берётся по всем возможным перестановкам. В итоге в каждом слагаемом-произведении n элементов матрицы представлены одним элементом каждая строка и каждый столбец. Произведение входит в алгебраическую сумму со знаком, равным знаку перестановки p. Добавив сюда естественное нормировочное условие f(E)=1, получим новое определение определителя:
Det A= (9).
Теперь, исходя из определения (9), докажите следующие утверждения.
Упражнение 15.
Det A – полилинейная функция на векторах – строках матрицы А (равно как и на векторах – столбцах этой матрицы).
Упражнение 16.
Det A – кососимметрическая функция на векторах – строках матрицы А (равно как и на векторах – столбцах этой матрицы).
Если вспомнить о комплексных числах, как они у нас впервые появились, - в виде матриц второго порядка специального вида, то модуль комплексного числа совпадает как раз с определителем его матрицы. Матрица же сопряжённого комплексного числа, по модулю равного 1, отличается от матрицы самого числа тем, что её коэффициенты получены симметрией (отражением) относительно главной диагонали коэффициентов исходной матрицы. В общем случае, когда имеется квадратная матрица А=(a_i,j) n-го порядка, сопряжённой к ней матрицей В=(b_i,j) называется матрица, у которой , где чёрточка сверху означает комплексное сопряжение.
Если же коэффициенты А вещественные, то и сопряжённая матрица превращается в транспонированную матрицу ^tA, столбцы которой являются строками матрицы А. Учтя, что знак перестановки и обратной к ней всегда совпадают,
Упражнение 17. А почему?
докажите, что Упражнение 18. Det A=Det ^tA.
Упражнение 19. Докажите, что Det Е=1.
Таким образом, исходя из условий линейности, кососимметричности и нормировочного условия det E=1 мы пришли к определению (9). Обратно, стартуя от определения (9), мы получили все эти условия.
Упражнение 20.
Определитель не меняется, если к элементам i-ой строки матрицы А прибавить элементы j-ой строки, умноженные на l.
Упражнение 21.
Определитель не меняется, если к любой строке матрицы прибавить линейную комбинацию других строк.
Упражнение 22.
Если в матрице А имеется нулевая строка или столбец, то её определитель равен нулю.
Упражнение 23.
Если ранг матрицы меньше n (т.е., между строками имеется линейная зависимость), то её определитель равен нулю.
Упражнение 24.
Определитель матрицы А и матрицы ВА, где В - унимодулярная матрица, совпадают.
Упражнение 25.
а) Если в матрице А имеются две одинаковых строки, то её определитель равен нулю.
б) Det lA=lⁿDet A.

Def. Верхнетреугольной называется матрица, у которой все компоненты, лежащие ниже главной диагонали – нулевые: .

Упражнение 26. Докажите, что определитель такой матрицы равен произведению её компонент, стоящих на главной диагонали: Det A=a₁₁a₂₂…a_nn.
Упражнение 27.
Запишите в виде определителя третьего порядка кососимметрическую функцию f:R³®R, f(x,y,z)=(y-x)(z-x)(z-y).
Упражнение 28.
Вычислить определитель матрицы А=.
Упражнение 29*.
(Формулы разложения определителя по элементам столбцов и строк)
Докажите справедливость следующих формул (ср. с упр. 11 – только там за определение det A бралось его разложение по первому столбцу, а сейчас определением служит формула 9):
где А_i,j=(-1)^i+jM_i,j - алгебраическое дополнение элемента a_i,j.
Упражнение 30*. (Определитель Вандермонда).
Вычислите определитель .
(hint: use properties of a det as a function of columns, notice that it is a homogeneous polynomial of variables x₁,…,x_n of a certain degree and recall the Bezout theorem)

2.4 До сих пор мы, давая определения определителю разными способами, доказывали их эквивалентность. Сейчас мы дадим ещё одно определение, в котором за основу берутся следующие свойства, доказанные нами ранее в п. 2.3.
Def. Итак, определителем матрицы А с коэффициентами в поле F назовём функцию Det:A®F, обладающую следующими свойствами (при этом мы вовсе не можем быть уверены, что функция с такими свойствами вообще существует):
а) при умножении любой строки матрицы на элемент m поля F определитель её Det тоже умножается на m,
b) при прибавлении к одной строке матрицы другой её строки значение определителя Det не изменяется, и
с) определитель единичной матрицы равен 1: DetE=1.
Базируясь теперь на этом, новом определении, докажем заново уже известные ранее нам свойства функции Det (предполагая, что таковая существует):
Упражнение 31.
Если в матрице имеется нулевая строка, то DetA=0.
Упражнение 32.
Если к строке А_i матрицы прибавить кратное lА_j другой строки, то её определитель DetA не изменится. В развитие этого результата, докажите, что если прибавить к одной строке не только кратное другой строки, но и любую линейную комбинацию других строк, то определитель DetA от этого всё равно не изменится.
Упражнение 33.
Если у матрицы имеются две одинаковые строки, то её определитель равен нулю.
Упражнение 34.
Если матрица вырождена, то её определитель равен нулю.
Упражнение 35.
Если любые две строки матрицы А_i и А_j поменять местами, то значение определителя поменяет знак (он умножится на -1).
Упражнение 36.
Определитель матрицы не меняется при умножении её слева на унимодулярную матрицу В.
Упражнение 37.
Определитель же матрицы D(m) равен m (определение матрицы D(m) см. в п. 1.2).
Упражнение 38.
Для любых матриц А и В имеет место Det(AB)=DetA×DetB.
Это означает, что Det является гомоморфизмом мультипликативной группы обратимых матриц в мультипликативную группу F* поля F.
Итак, Det является полилинейной и кососимметрической функцией строк, нормированной условием DetE=1. То есть, приходим снова к определению, привёдшему к формуле (9).
Упражнение 39.
Если определитель матрицы равен нулю, то матрица – вырожденная (утверждение, обратное утверждению 34). Если же матрица А невырожденная, то Det (A^-1)=(DetA)^-1.
Итак, критерием вырожденности матрицы является равенство нулю её определителя.
Матрица А вырождена Û DetA=0.
Упражнение 40.
Функция Det является сюръективным гомоморфизмом GL(n,F)®F*; kerDet=SL(n,F).
Упражнение 41.
Пусть матрица А имеет вид , где В и D –квадратные матрицы. Тогда DetA=DetB×DetD.
Упражнение 42.
Определитель является инвариантом линейного оператора L: E®E (dimE=n), он не зависит от выбора базиса, в котором записана матрица А этого оператора (хотя сама-то матрица, как мы знаем, от выбора базиса очень даже зависит!).
Упражнение 43*.
Обозначим алгебру (квадратных) матриц порядка n над полем F как M(n,F). Пусть А_i,j по-прежнему, обозначает алгебраическое дополнение к элементу a_i,j матрицы АÎM(n,F).
Тогда имеют место тождества:
a_i1A_j1+a_i2A_j2+…+a_inA_jn=d_ijDetA;
a_1iA_1j+a_2iA_2j+…+a_niA_nj=d_ijDetA.
(hint: when i=j d_ij=1and we have ex.11. When i≠j d_ij=0 and we have the decomposition along its j^th row of a matrix, got from original matrix A by replacing its j^th row with its i^th row)
Def. Матрицу полученную из матрицы А заменой её элементов a_i,j на алгебраические дополнения А_j,i к транспонированным элементам a_j,i назовём присоединённой или взаимной матрицей к матрице А. То есть мы сначала транспонируем матрицу А, а затем заменяем её элементы на алгебраические дополнения к ним. Или, наоборот (всё равно), сначала заменяем, а потом транспонируем.
Упражнение 44*. А^-1=(DetA)^-1×
Теперь мы можем обобщить формулы (8) на линейные системы любого порядка.
Упражнение 45*. (Крамер)
Если Det (a_i,j)≠0, то единственное решение линейной системы (11) задаётся формулами ,
где определитель в числителе получается заменой k-го столбца матрицы А=(a_i,j) столбцом правых частей уравнения (11).

2.5 Как мы с вами проверяли, при n=2, определительсовпадает с точностью до знака с площадью параллелограмма, построенного на векторах е =(a,b) и f =(c,d):
Чтобы снять оговорку «с точностью до знака», введём понятие ориентированных длины, площади, объёма и т.д. Например длиной отрезка АВ, если на прямой, где расположены точки А и В, положительное направление совпадает с лучом АВ, будет обычная длина ½АВ½отрезка АВ; если на координатной прямой точки А и В имели координаты соответственно х и у, то ½АВ½=у-х.
Тогда ориентированной длиной отрезка ВА будет величина -½АВ½, т.е., х-у. Аналогично, ориентированные площади треугольников АВС и СВА будут отличаться знаками – они обходятся в противоположных направлениях (по и против часовой стрелки).

Основными свойствами ориентированного объёма (в двумерном случае – площади и в одномерном случае – длины) являются следующие:
а) если один из векторов е_i, на которые натянут n-мерный параллелепипед, изменить в a раз (вытянуть, сжать, возможно, при этом ещё и обратить – если a<0), оставив все остальные векторы-рёбра без изменения, то объём измениться в a раз: V₂=aV₁;
б) если к одному векторов е_i, на которые натянут n-мерный параллелепипед, прибавить коллинеарный ему вектор f_i (ибо все остальные векторы-рёбра должны сохраниться без изменения), то объём нового параллелепипеда равняется сумме объёмов старого параллелепипеда и параллелепипеда, построенного на рёбрах (e₁,e₂,…,f_i,…,e_n);
в) при любой транспозиции векторов-рёбер параллелепипеда его ориентированный объём меняет знак на противоположный.
Отсюда следует, что signV=s(p), где .
Как мы видим, ориентированный объём параллелепипеда является линейной и кососимметрической функцией от векторов, на которых, как на рёбрах, он построен. При этом достаточно лишь добавить естественное требование, чтобы объём единичного параллелепипеда (т.е. построенного на единичных векторах – векторах стандартного базиса) был равен 1 и мы вновь приходим вновь к одному из исходных определений определителя.

Между прочим, условие «ориентированный объём не меняется при добавлении к вектору кратного любого другого вектора» тоже легко иллюстрируется – в двумерном случае это равносоставленность параллелограммов с общими основаниями и высотами, в трёхмерном – соответственно, таких же параллелепипедов.
Итак, мы приходим к выводу, что ориентированный объём параллелепипеда, построенного на векторах, как на рёбрах, совпадает с определителем матрицы, строками которой являются координаты этих векторов.
Площадью любой фигуры является число клеточек-квадратиков (соответственно, кубиков и т.д.), расположенных внутри этой фигуры (при увеличении частоты сетки – уменьшении размеров клеточек их сумма «стремится» к истинному значению «площади фигуры» - ничего более точного и определённого в этом отношении мы пока сказать не можем). Число узлов клетки внутри фигуры не меняется при любом линейном невырожденном преобразовании, площадь же каждой клеточки при этом изменяется пропорционально с одним и тем же коэффициентом, равным определителю этого преобразования. Таким образом, определитель линейного преобразования ВП V отвечает не только за то, во сколько раз изменится объём параллелепипедов в V, а во сколько раз вообще изменится объём любой фигуры в V.
Познакомимся ещё с одним инвариантом линейного преобразования f: V®V.
Def. Следом (trace) матрицы А называется сумма её диагональных элементов: .
Пусть прямоугольные матрицы А и В таковы, что определено как АВ, так и ВА (для этого необходимо и достаточно, чтобы одна из них имела размеры m´n, а другая - n´m). Тогда обе матрицы АВ и ВА – квадратные (одна – порядка m, а другая - порядка n) и потому для обеих определена функция tr.
Упражнение 46.
Докажите, что tr AB=tr BA.
Выведите отсюда, что след является характеристикой (инвариантом) линейного оператора и не зависит от базиса, в котором записан этот оператор:
Упражнение 47.
Пусть f: V®V линеен и в базисе е записан матрицей А, а в базисе f – матрицей B.
Тогда tr A=tr B. Таким образом, можно говорить о следе tr f оператора f.

3. Евклидова и симплектическая геометрии.

3.1. Def. Пусть s: F®F – автоморфизм поля F, V – ВП над F.
Функция j: V®F, являющаяся гомоморфизмом абелевых групп V®F таким, что j(a v)=s(a)×j(v) "aÎF,vÎV называется полулинейной. [1]
Линейная функция, таким образом, является частным случаем полулинейной, а именно, когда автоморфизм тождественен: s=id. В случае, когда F=C, имеем автоморфизм-инволюцию (инволюцией называется f такое, что f²=id) s: z®, ставящий комплексному числу z в соответствие его комплексно-сопряжённое число . С ним-то мы и будем иметь дело в дальнейшем.

Соответственно, функции j: V´V®F, линейные по первому аргументу и полулинейные по второму, называются полуторалинейными. В частном случае, когда j линейна и по второму аргументу, она называется билинейной. Во всех случаях эти функции называются соответствующими формами, а также (в анализе) функционалами.

Пусть задана некоторая 1,5 ЛФ j: V´V®F. Выбрав базис е ={ e ₁, e ₂,…, e _n} в V, получим матрицу (a_ij)=(j(e_i,e_j)), которая называется матрицей Грама формы j в базисе e.

Упражнение 48.
Проверьте, что фиксация базиса е в ЛП V над F устанавливает изоморфизм между ЛП (над F) полуторалинейных форм и ЛП n-мерных матриц с коэффициентами из F.

Упражнение 49*.

Докажите, что существует лишь тождественный автоморфизм поля R, и поэтому на вещественных ЛП существуют лишь билинейные формы j: V´V®R.

Упражнение 50*.

Пусть в базисе е ={ e ₁, e ₂,…, e _n} в V матрицей Грама 1,5 ЛФ j: V´V®F была матрица В=(b_ij)=(j(e_i,e_j)). Мы выбираем в V новый базис e` =A e, то есть А – матрица перехода от базиса е к базису e`: . Пусть Х=(х₁, х₂,…,х_n) – координаты вектора Х в «старом» базисе е: Х =x₁ e₁ +…+x_n e_n, а Х¢=– координаты вектора Х в «новом» базисе e`:.
Во-первых, проверьте, что матрица перехода А связывает «старые» и «новые» координаты вектора Х следующим образом: . Во-вторых, выясните, как изменится матрица Грама В при переходе к новому базису e`.
(В новом базисе матрицы Грама В¢, В и матрицу А связывает определённая формула, которую вам предлагается найти). Найдя её, сравните с формулой изменения матрицы линейного оператора при замене базиса.