Метод, основанный на свойстве воспроизводимости равномерного закона

Пусть [О, 1) — независимые одинаково распределенные случайные величины; N — натуральное число; определены случайные величины:

(3.28)

Сформулируем результат, выражающий свойство воспроизводимости равномерного закона.

Теорема 3.2. Если имеют равномерное распределение, то и случайная величина имеет стандартное равномерное распределение R [0, 1).

Доказательство. По правилам функционального преобразования (3.28) случайных величин выразим плотность распределения случайной величины [О, 1) через плотность (у) распределения величины

(3.29)

Методом математической индукции (с использованием формулы свертки распределений) находим

(3.30)

где I(u) — единичная функция Хэвисайда.

Подставляя теперь (3.30) в (3.29), заменяя индекс суммирования i на j= i - k и меняя порядок суммирования по j, k, получаем

Суммируя по k и учитывая тождество

находим

что и требовалось доказать.

Доказанное свойство позволяет строить весьма эффективные датчики на ПЭВМ. Пусть имеется два простейших датчика БСВ Д₁, Д₂; {}, {} — независимые случайные последовательности, имитируемые этими датчиками; р(х) — плотность распределения случайной величины , х [0, 1) (i = 1, 2; j = 1, 2,...). Пусть отличается

от плотности стандартного распределения

(3.30)

где h(·) — ограниченная функция, такая, что

при (3.31)

[ 0, 1) и характеризует точность датчика Д₁: чем меньше, тем точность выше.

Теорема 3.3. Пусть аналогично (3.28)

(3.32)

Если [О, 1) независимы и имеют плотности (4.48), то , имеет плотность распределения

(3.33)

Доказательство. Согласно 3.32

),

Поэтому при

Подинтергальное выражение упрощается, поскольку

Тогда с учетом (4.49) получаем (4.51).

Из сравнения (4.48) заключаем, что случайная последовательность имеет распределение, более близкое к R[0,1), чем :

Формула (3.33) используется для получения j-го псевдослучайного числа. Аналогичным образом, увеличивая число исходных датчиков Д₁, Д₂, …, можно достичь требуемой точности моделирования.

В заключение отметим еще, что для увеличения отрезка апериодичности последовательности следует использовать датчики Д₁, Д₂, периоды у которых Т₁, Т₂ – взаимно простые числа.