2014-02-24
508
Вершины
Найдем точки пересечения эллипса с осями координат:
1) C осью OX:
2) C осью OY:
Определение 2. Точки пересечения эллипса с осями координат (осями эллипса с уравнением (1)) называются его вершинами. Числа и, называются соответственно большой и малой полуосями.
Исследуем эллипс в первом квадранте (четверти), то есть при и.
умножим на.
,
,
.
Если возрастает от 0 до a, то убывает от b до 0. Если, то и принимает мнимые значения. Дуги эллипса в остальных трех квадрантах симметричны дуге относительно осей координат и начала координат.
Замечание. Так как, то и директрисы не пересекают эллипс.
4. Другие уравнения эллипса
1) Пусть эллипс задан уравнением где …(2)
Тогда фокусы и лежат на оси OY (она является фокальной осью),,
,,,t wx:val="Times New Roman"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>В±</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>d</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> – уравнение директрис
|
|
|
2) Пусть центр эллипса находится в точке. Осуществим параллельный перенос системы координат Oxy по формулам:
Отсюда получаем: а уравнение эллипса запишется в следующем виде:
или (3).
При этом оси O’x’ и O’y’ получаются при параллельном переносе на вектор осей Ox и Oy.
В частности, при a = b = r эллипс превращается в окружность с центром радиуса r и задается уравнением:
(4).
§16. Гипербола («Избыток» - греческий)
Определение 1. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния F1F2. Точки F1 и F2 называются фокусами, расстояние
F1, F2 – фокусным расстоянием.
Пусть М(x; y) – произвольная точка гиперболы, и прямоугольная декартова система координат выбрана так, что фокусы F1 и F2 лежат на оси Ох, а начало координат делит пополам расстояние между фокусами.
Обозначим F1F2 = 2с, тогда имеем F1(c; 0) и F2(-c; 0).
Обозначим также HF1 =, HF2 = – фокальные радиусы точки H.
Из определения гиперболы следует, что модуль разности фокусных радиусов любой её точки есть величина постоянная. Обозначим её 2а:
; = 2а.
Замечание. Мы предположим, что 2а < 2c или a < c, так как в противном случае либо не существует точек, удовлетворяющих определению (a > c), либо совокупность этих точек есть объединение двух лучей прямой, проходящей через точки F1 и F2 (a = c).
|
|
|
Теорема 1. Если прямоугольная декартова система координат выбрана указанным выше способом, то в ней гипербола задается своим каноническим (простейшим) уравнением:
, (1)
где с2 = a2+b2. (2)
Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для эллипса, с2 - a2 = b2, так как с > a.
Определение 2. Эксцентриситет гиперболы с уравнением (1) при условии (2) называется число.
Замечание. Так как из (2), то, > 1.
Определение 3. Директрисами гиперболы с уравнением (1) при условии (2) называются прямые с уравнениями:
x = d, где d =. (3)
Так как > 1, то d = < a и директрисы не пересекают гиперболу.
Теорема 2. Отношение расстояния произвольной точки гиперболы до фокуса к её расстоянию до ближайшей к этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситета гиперболы.
Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для эллипса.
x = -d, x = d;
>1 => r1 > d1 ;
;
d1 = x-d = x -.
