Общее уравнение линии второго порядка

Замечания.

Замечания.

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Другие виды уравнения параболы

Фокальная хорда

Расположение относительно оси и директрисы

Ось и вершина

Исследование уравнения параболы

Пусть парабола задана каноническим уравнением:

(1)

Так как уравнение (1) содержит переменную во второй степени, то оно не изменится при замене на, следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс Ox.

Других осей симметрии и центра симметрии у параболы нет.

С осью Ox парабола пересекается в начале координат, так как при имеем и.

Определение. Ось симметрии параболы называется ее осью, точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной.

Так как (расстояние), то из (1) имеем:. Следовательно, парабола расположена относительно оси Oy, а следовательно, и относительно и директрисы по ту же сторону, что и фокус. Если, то. Следовательно, при неограниченном удалении от вершины парабола неограниченно удаляется от оси.

Определение. Фокальной называется хорда, проходящая через фокус параболы перпендикулярно ее оси.

Покажем, что ее длина равна удвоенному фокальному параметру:

1).

2).

3).

4).

5).

Oˡ(x₀;y₀) – вершина параболы.

Теорема 1. Эллипс, отличный от окружности, гипербола и парабола являются множествами точек плоскости, для которых отношение расстояния до данной точки F к расстоянию до данной прямой l есть величина постоянная.

1) Для эллипса и гиперболы теорема 1 непосредственно следует из теоремы о директрисах, причем F – один из фокусов, l – ближайшая к этому фокусу директриса. Для параболы теорема 1 следует из ее определения, где F – фокус параболы, l – ее директриса;

2) Указанное отношение расстояний есть эксцентриситет линии;

3) Окружность не имеет директрис, так как Ɛ=0 и.

Теорема 2. Эллипс, гипербола, парабола, эксцентриситетами Ɛ имеют в некоторой полярной системе координат уравнение:

. (1)

Доказательство.

Примем за полюс фокус F соответствующей линии, полярную ось проведем через фокус F перпендикулярно соответствующей директрисе l в направлении от l к F.

Пусть M – произвольная точка линии, M₀ – точка линии, для которой; обозначим FM₀ через p – фокальный параметр точки M₀.

;

Согласно теореме 1 имеем:

1) Для параболы Ɛ=1, p – фокальный параметр, тогда парабола имеет полярное уравнение.

2) Для эллипса и гиперболы - уравнениям

и (2)

, (3)

получаем:.

Например, для уравнения (2) имеем: =p – фокальный параметр, тогда для точки M₀ эллипса имеем:

.

Для окружности Ɛ=0 и ее полярное уравнение принимает вид:, где p – радиус окружности,.

По определению алгебраическая линия второго порядка имеет в прямоугольных декартовых координатах уравнение второй степени:

, (*)

где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля,, i,j=0,1,2.

При этом считают, что,,.

Уравнение (*) называется общим уравнением линии второго порядка. Ниже будет доказано, что из него получается канонические (простейшие) виды общего уравнения.

Уравнения эллипса:

. (1)

Уравнения мнимого эллипса:

. (2)

.

Уравнение (2) не имеет действительных решений и, и следовательно является уравнением пустого множества точек. При этом название “мнимый эллипс” условное и объясняется лишь сходством уравнений (2) и (1).

Уравнения гиперболы:

. (3) и (3)

Уравнения пары пересекающихся прямых:

. (4)

. (4)

Уравнение пары мнимых пересекающихся прямых:

. (5)

Уравнение (5) имеет единственное решение x=y=0, и следовательно является уравнением одной точки – начала координат. Название “пара пересекающихся мнимых прямых” условное и объясняется сходством уравнений (4) и (5).

Уравнения параболы:

, (6)

; (6)

- в уравнении (6).

Уравнения пары параллельных прямых:

(7)

(7)

.

Уравнение пары совпавших с осью Oy прямых:

. (8)

- уравнение оси Oy.

Уравнение пары совпавших с осью Ox прямых:

. (8)

- уравнение оси Ox.

Уравнения пары мнимых параллельных прямых:

(9)

и

. (9)

Как и уравнения (2), уравнения (9) и (9) являются уравнениями пустого множества точек. Название “пара мнимых параллельных прямых” объясняется сходством уравнений (9) и (9’) с уравнениями (7) и (7).

Определение 1. Линии второго порядка с уравнениями видов (1), (2) и (5) называются линиями эллиптического типа, видов (3) и (4) – линиями гиперболического типа, видов (6), (7), (8) и (9) - линиями параболического типа.

Определение 2. Центр симметрии линии 2-го порядка называется ее центром. Если линия 2-го порядка имеет единственный центр, то она называется центральной; если она не имеет центра, то нецентральной; если множество ее центров есть прямая линия, то – линией с прямой центров.

Пример. Пара параллельных прямых является линией 2-го порядка с прямой центров.

Имеет место следующая классификация линий 2-го порядка

Линии 2-го порядка	Эллипс Мнимый эллипс Пара мнимых пересекающихся прямых	Линии 2-го порядка
Эллиптического типа	Центральные
Гиперболического типа	Гипербола Пара пересекающихся прямых	Центральные
Параболического типа	Парабола	Нецентральная
Пара параллельных прямых Пара совпавших прямых Пара мнимых параллельных прямых	С прямой центров