Понятие отображения

IV Преобразование плоскости

М

G

Определение 1: пусть имеются две фигуры F и G – множество точек, причем произвольной точке М фигуры F соответствует определенная точка фигуры G. Тогда:

1) это соответствие называется отображением фигуры F в фигуру G;

2) точка называются образом точки;

3) точка называется прообразом точки;

4) если точки и совпадают (), то точка М называется неподвижной или двойной точкой отображения;

5) фигура, состоящая из образов всех точек фигуры, называется образом фигуры F.

Обозначения:

F – отображение;

или

или.

пусть F=AB – гипотенузы прямоугольного, G=AC прямая соединяющая его катет АС, f – ортогональное проектирование на прямую АС.

F

M

B

M/

C=B/

D G

А=А/

F/

f

f

900

Имеем

C – образ В: f (В)=С, В^/ C;

М^/ -образ М: f (М)=М^/, где М АВ=F;

А – неподвижная очка преобразования f: f (А)=А^/, А=А^/.

Точка D АС не имеет прообраза в фигуре F F^/ G.

F G – F^/ является подмножеством множества точек G.

Катет АС – образ гипотенузы АВ=F:

f (F)=АС=F^/.

Замечание 1: по определению каждая точка М фигуры F при отображении f в фигуру G имеем один образ М^/. Число же прообразов для М для точки М^/ фигуры G может быть различным (большим или равным одного).

Определение 2: если каждая точка фигуры G имеем хотя бы одон прообраз в фигуре F, то отображение f: F G называется сюръекцией и в этом случае говорят об отображении фигуры G/

А

В

С

F

f

А/

B/

F на G (сюръекция).

f (А)=А^/ - точка А^/ имеет один прообраз в F.

f (В)=В^/ - точка В^/ имеет два прообраза в F.

Замечание 2: отображение является сюръекцией тогда и только тогда, когда - G является образом F.

Определение 3: если для любых двух различных точек М₁ М₂ фигуры F f (М₁) f (М₂), то отображение f фигуры F в фигуру G называется инъекцией.

Определение 4: если отображение одновременно является сюръекцией и инъекцией, то оно называется взаимно однозначным отображением фигуры F на фигуру G или биекцией.

А/

В/

С/

f

G

F

А

Вв

С

М

М/

О

N

N/

γ

А^/= f (А), В^/= f (В), С^/= f (С). Точки А^/, В^/, С^/ фигуры G имеют один и только один прообраз, f (А) f (В) f (С); f – биекция.

Замечание 3: биекция является частным случаем сюръекции (каждая точка фигуры G имеет единственный прообраз).

Определение 5: инвариантными отображениями называются свойства фигур, тела или функции, связанные с фигурами, которые сохраняются при этом отображении.

Пример 2: в примере 1 имеем (f – ортогональное проектирование).

1) длина отрезка не является инвариантом ортогонального проектирования f на каким АС точек гипотенузы АВ, так как АМ А^/М^/;

2) отношение (число) λ, в котором точка М делит отрезок АВ, является инвариантом отображения f, так как по теореме Фалеса;

3) свойство точки М «лежать между» точками А и В является инвариантом отображения f,так как при нем М^/также лежит между А^/ и В^/.