Замечания. Способы задания прямой в пространстве

Замечания.

Способы задания прямой в пространстве

1⁰. Параметрические уравнения прямой

Пусть прямая определяется в пространстве своей точкой и направляющим вектором.

Пусть также - произвольная точка прямой, где - текущие координаты, значит

||, тогда существует число t такое, что:

, где.

Так как по правилу треугольника, то получаем:

- векторное уравнение прямой.

Поскольку,

, то

(1)

(1) – параметрические уравнения прямой с параметром t, где.

2⁰. Канонические уравнения прямой

Исключим параметр t из уравнений (1):

r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">. (2)

(2) – канонические уравнения прямой (простейшие).

1)В уравнениях (1) и (2) числа x₀, y₀, z₀ – координаты фиксированной точки прямой.

2) Если в уравнениях (2) какие-либо два знаменателя равны нулю (две координаты какого-либо направляющего вектора прямой), то считаются равными нулю и соответствующие числители.

Пример 1. Составим канонические и параметрические уравнения оси OY:

или - канонические,

или – параметрические.

3⁰. Связка прямых

Определение. Множество всех прямых пространства, проходящих через данную точку M₀, называется связкой прямых с центром в этой точке.

Множество всех прямых пространства, параллельных данной прямой, называется связкой параллельных прямых.

3) Пучок прямых отличается от связки прямых лишь тем, что состоит из прямых, лежащих в одной плоскости.

4) Если в уравнениях (2) изменять лишь знаменатели m, n, p, оставив постоянными x₀,y₀,z₀, то будут получаться уравнения различных прямых связки с центром M₀(x₀; y₀; z₀). Если же изменять x₀, y_0, z_0, оставив без изменения m, n, p, то будут получаться уравнения прямых некоторой связки параллельных прямых.

4⁰. Уравнения прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая задана двумя различными точками M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂). В уравнениях (2) – канонических – примем за фиксированную точку M₁, а за направляющий вектор -.

Получаем искомые уравнения прямой:

. (3)

5⁰. Общие уравнения прямой

Прямая как линия пересечения двух плоскостей определяется совместным заданием двух линейных уравнений:

(4)

при условии, что коэффициенты первого уравнения не пропорциональны коэффициентам второго уравнения (в противном случае эти уравнения будут определять параллельные или совпавшие плоскости).

Уравнения (4) называются общими уравнениями прямой.

Пример 2. Ось ординат Oy задается пересечением координатных плоскостей Oxy и Oyz, поэтому ее общие уравнения записываются так:

.

Способ перехода от общих уравнений прямой к каноническим.

1) Находим координаты направляющего вектора прямой:

и, поэтому || (отличается от числовым множителем). Можно, в частности, положить, =, где - векторное произведение векторов и.

2) Находим координаты какой-либо фиксированной точки M₀ прямой: одну из ее координат, например z₀, выбираем произвольно, подставляем ее в систему уравнений (4) и находим из нее остальные координаты x₀ и y₀.

Пример 3. Перейти от общих уравнений прямых к ее каноническим уравнениям:

l:

Решение.

1) Находим:

2) Находим точку M₀:

=> => => M₀(1;-1;0).

3) Находим канонические уравнения прямой.

или.

Легко видеть, что прямая может быть задана и другими общими уравнениями:

=>
§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть две прямые ₁ и ₂ заданы своими каноническими уравнениями:

₁:, ₂:. (1)

Здесь,, и - направляющие векторы этих прямых.

Возможны случаи их взаимного расположения.

1⁰. Прямые l₁ и l₂ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы, и компланарны, то есть, если их смешанное произведение равно нулю:

Последнее равенство равносильно следующему:

. (2)

(2) - условие расположения двух прямых в одной плоскости.

Случай 1. Прямые параллельны.

Векторы и коллинеарны, следовательно:

. (3)

(3) – условия параллельности двух прямых.

Замечание 1. Из условий (3) следует условие (2), так как при выполнении условий (3) строки определителя в равенстве (2) пропорциональны, и такой определитель равен нулю.

В случае 1⁰ имеются две возможности:

а) прямые l₁ и l₂ совпадают:

l₁ l₂

Вектор компланарен векторам и, тогда, например

. (4)

б) прямые l₁ и l₂ не имеют общих точек:

Вектор компланарен векторам и, равенства (4) не выполняются.

Случай 2. Прямые l₁ и l₂ пересекаются.

В этом случае условие (2) выполняется, условия (3) – нет.

2⁰. Прямые l₁ и l₂ могут и не лежать в одной плоскости, тогда условие (2) не выполняется, прямые являются скрещивающимися.

Обозначение. l₁ • l₂.

Замечание 2. В случае 2⁰ и когда прямые скрещиваются, они могут быть перпендикулярными.

Тогда, и в координатах:

. (5)

Определение 3. Углом между пересекающимися прямыми называется величина меньшего из двух углов, или определяемых. Угол между параллельными или совпадающими прямыми считается равным нулю. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между соответственно им параллельными пересекающимися прямыми.

Теорема. Угол Ө между прямыми с уравнениями (1)выражается формулой:

cos Ө =; (6)

Доказательство.

Обозначим Ө =, где,,,.

Случай 1., тогда: Ө = и cos Ө = cos.

Случай 2., тогда Ө = π – φ и cos Ө = - cos.

В обоих случаях, переходя к координатам, имеем:

Теорема доказана.

Замечание. Условие (5)получается из формулы (6)при.

Пример. Найти уравнения прямой l_1, которая:

1) Проходит через точку М₁(3;2;1);

2) Пересекает прямую l₂ с уравнениями x=2y=3-z;

3) Перпендикулярна этой прямой l₂ .

Решение.

1) Так как М₁, то ее каноническое уравнение имеет вид:

2) Так как l₁ пересекает l₂ , то они лежат в одной плоскости, и, следовательно, выполняется условие (2):, где x₁=3, y₁=2, z₁=1,.

Канонические уравнения прямой l₂ имеют вид:, следовательно, x₂=0, y₂=0, z₂=3, m₂=2, n₂=1, p₂=-2.

-2 +2 n1- p1=0

3) Так как, то и: 2 + n₁- p₁=0

4) Положив p₁=2, получим: m₁=1, n₁=2.

Ответ:.

§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

, ax+by+cz+d=0. (1)

где M₀(x₀; y₀; z₀) l, (m; n; p) || l, (a, b, c).

Могут представляться случаи из взаимного расположения.

Случай 1. Прямая и плоскость параллельны:. Тогда,, следовательно:

. (2)

(2) – условие параллельности прямой и плоскости.

В случае 1 имеются две возможности:

а) Прямая лежит в плоскости:. Следовательно, кроме условия (2) выполняется еще и условие:

. (3)

б) Прямая и плоскость не имеют общих точек:,тогда, условие (2) выполняется, условие (3) – нет:

Случай 2. Прямая и плоскость пересекаются:, тогда и условие (2) не выполняется: a*m+b*n*c*p 0.

В частности, если, то векторы и коллинеарны:

. (5)

(5) – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Определение. Углом Ө между прямой и не перпендикулярной ей плоскостью называется угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией ₁ на эту плоскость.

Угол между прямой и перпендикулярной ей плоскостью считается равным (проекцией прямой на плоскость является точка).

Теорема. Угол Ө между прямой и плоскостью с уравнениями (1) вычисляется по формуле:

. (6)

Доказательство.

Обозначим: Ө=, где.

Случай 1.;; Ө.

Случай 2.;;.

В обоих случаях имеем:

.

Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую ₁:, и параллельной прямой ₂:.

1) Перейдем от канонических уравнений прямой ₁ к ее общим уравнениям:

₁=

2) Запишем уравнения пучка плоскостей с осью ₁:

3) Находим уравнение плоскости α как плоскости пучка с осью ₁, параллельной прямой l₂:

Ответ:.