Однополостный гиперболоид
Однополостный гиперболоид задается своим каноническим уравнением:
. (1)
1. Плоскости, оси и центр симметрии
Как и в случае эллипсоида доказывается, что однополостный гиперболоид с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех осей координат и начала координат.
Таким образом, оси координат служат осями однополостного гиперболоида, а начало координат – его центром.
2. Вершина
Ox:
Oy:
Oz: точек пересечения нет.
Определение. Действительными осями однополостного гиперболоида называются те оси, с которыми он пересекается. Третья ось, с которой он не пересекается, называется мнимой осью. Числа a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.
3. Главные сечения
Сечение плоскостью Oyz: - гипербола с мнимой осью Oz (вершина на оси Oy).
Сечение плоскостью Oxz: - гипербола с мнимой осью Oz (вершина на оси Ox).
Сечение плоскостью Oxy: - эллипс с полуосями a и b.
4. Сечение плоскостью, параллельной плоскости Oxy
αǁOxy: или. (2)
|
|
Уравнения (2) определяют эллипс с полуосями при любом. Если h=0, то полуоси принимают наименьшие значения: a1=a, b1=b. Полученное главное сечение называется горловым эллипсом.
Если, то полуоси a1, b1 неограниченно возрастают.
5. Сечение плоскостью, параллельной плоскости Oyz
βǁOxy: (3)
Возможны три случая:
а) Уравнения (3) определяют гиперболу с мнимой осью, параллельной оси Oz:
и полуосями,.
б) Уравнения (3) определяют пару прямых, пересекающихся в точках (±a;0;0):
.
в) Уравнения (3) определяют гиперболу с мнимой осью, параллельной оси Oy:
и полуосями,.
Аналогичный результат получается и при пересечении поверхности с уравнением (1) плоскости γ с уравнением y = h, где γ ║ Oxz.
Изобразим теперь однополостный гиперболоид, используя проведенное выше исследование его формы.
6. Виды однополостных гиперболоидов
а) Если a = b, например, то уравнение (1) задает поверхность вращения, а именно однополостный гиперболоид вращения.
(4)
Эта поверхность получается вращением гиперболы с уравнениями вокруг оси Oz, то есть вокруг мнимой оси гиперболы.
б) Однополостный гиперболоид с центром O’(x0,y0,z0) и полуосями a, b, c, параллельными осям координат, имеем уравнение:
(5)
Пример. Изобразить поверхность второго порядка в:.
Решение.
однополостный гиперболоид вращения, a = c = 1, b = 2; ось вращения – ось Oy.
Двуполостный гиперболоид задается своими каноническим уравнением
или (1)
1. Плоскости, оси и центр симметрии
Из уравнения (1) следует, что поверхность симметрична относительно всех плоскостей координат, всех координатных осей и начала координат. Таким образом, двуполостный гиперболоид имеет три оси и один центр – начало координат.
|
|
2. Вершины
Точки пересечения с осью Oz:, C1(0, 0, c), C2(0, 0, -c).
Легко видеть, что точек пересечения с другими осями координат нет:
Ось Ox:.
Ось Oy:.
Определение. Действительной осью двуполостного гиперболоида называется та ось, с которой он пересекается. Две другие оси называется мнимыми (с ними двуполостный гиперболоид не пересекается).
3. Главные сечения
. (1)
Сечение плоскостью OYZ: гипербола с действительной осью OZ.
Сечение плоскостью OXZ: гипербола с действительной осью OZ.
Сечение плоскостью OXY: пустое множество точек (мнимый эллипс).
4. Сечение плоскостью, параллельной плоскости OXY
║OXY: или (2)
Возможны три случая.
а) и плоскость α двуполостный гиперболоид не пересекает, так как система (2) не имеет решений.
б) и имеет систему
сечением является либо точка C1(0, 0, c), либо C2(0, 0, -c), то есть одна из вершин двуполостного гиперболоида.
в) и имеет систему
(3)
Второе уравнение системы (3) задает эллипс, где.
Если, то полуоси этого эллипса и неограниченно возрастают.
Аналогично можно показать, что сечениями поверхности с уравнением (1) плоскостями β: x = h и γ: y = h есть гиперболы.
Изобразим теперь двуполостный гиперболоид, используя проведенное выше исследование его формы.
5. Виды двуполостных гиперболоидов
а) Если в уравнении (1), например a = b, то получаем двуполостный гиперболоид вращения с уравнением:
(4)
в котором ось вращения – ось Oz
Эта поверхность получена вращением гиперболы с уравнением вокруг оси Oz, то есть вокруг ее действительной оси.
б) Двуполостный гиперболоид с центром и полуосями a, b, с, параллельными осям координат, имеем уравнение:
(5)
Замечание. В каноническом уравнении однополостного гиперболоида имеется один знак «-», а в каноническом уравнении двуполостного гиперболоида – два знака «-».
В обоих уравнениях члены, соответствующие действительным осям, имеют знак «+», а члены, соответствующие мнимым осям, имеют знак «-».
Пример. Изобразить поверхность второго порядка.
Решение.
.
- двуполостный гиперболоид вращения, центр, полуоси a = b = с = 1.
(Формула параллельного переноса в пространстве имеет вид.
, где