Гиперболический параболоид

Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид задается своим каноническим уравнением:

(1)

. Так как уравнение (1) содержит x и y во второй степени, то эллиптический параболоид с уравнением (1) симметричен относительно Oxz и Oyz, а также относительно оси Oz. Относительно плоскости Oxy, осей Ox и Oy и начала координат эллиптический параболоид не симметричен.

Таким образом, эллиптический параболоид имеет только одну ось симметрии, две плоскости симметрии и не имеет центра симметрии (центра).

. Эллиптический параболоид с уравнением (1) имеет единственную вершину – начало координат.

. Сечение плоскостью Oyz:

- парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz.

Сечение плоскостью Oxz:

– парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz.

Сечение плоскостью Oxy:

– точка O(0;0;0) – вершина эллиптического параболоида.

Из уравнения (1) следует, что. Таким образом, эллиптический параболоид расположен по одну сторону от плоскости Oxy и имеет с ней единственную общую точку – начало координат O(0;0;0).

. Сечение плоскостью

или – эллипс с полуосями и и центром С(0;0;h). При полуоси этого эллипса неограниченно возрастает. При эллипс превращается в точку O(0;0;0).

. Сечение плоскостью

или или

Второе уравнение этой системы можно переписать в виде:. Оно задает некоторую параболу, равную параболу с уравнением.

Итак, все сечения поверхности (1) плоскостями, параллельными плоскости Oxz, являются параболами.

Аналогично можно показать, что все сечения поверхности (1) плоскостями с уравнением вида (т.е. плоскостями) также есть параболы.

. Если в уравнении (1), то получаем поверхность, называемую параболоидом вращения с каноническим уравнением:

. (2)

Эта поверхность получается вращением параболы с уравнениями: вокруг ее оси, т.е. оси Oz.

Можно показать, что любой эллиптический параболоид можно получить из параболоида вращения с помощью сжатия к точки, проходящей через ось вращения.

Изобразим теперь эллиптический параболоид.

. Уравнение:

(3)

Задаёт эллиптический параболоид, симметричный эллиптическому параболоиду (1) относительно Oxy.

Пример. Изобразим поверхность второго порядка

Решение.

или. – параболоид вращения с осью вращения Oz, вершина (0;0;1).

– окружность радиуса, центр O(0;0;0).

Гиперболический параболоид задается своим каноническим уравнением:

. (1)

. Так как уравнение (1) содержит во второй степени, то гиперболический параболоид с уравнением (1) симметричен относительно плоскостей Oxz, Oyz и оси Oz, относительно плоскости Oxy, осей Ox и Oy и начала координат он не симметричен. Таким образом, гиперболический параболоид имеет только одну ось симметрии, две плоскости симметрии и не имеет центра симметрии (центра).

. Гиперболический параболоид с уравнением (1) имеет единственную вершину – начало координат:

– вершина или узловая точка.

. Сечение плоскостью Oxz:

- парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz. (2)

Сечение плоскостью Oyz:

– парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz. (3)

Заметим, что параболы (2) и (3) расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях Oxy.

Сечение плоскостью Oxy:

или (4)

Пара прямых, пересекающихся в начале координат O(0;0;0).

. Сечение плоскостью

или или (5)

Второе уравнение системы (5) задает параболу полученную из параболы с уравнениями (2) с помощью параллельного переноса. Вершина этой параболы находится в точке.

Заметем также, что координаты точки удовлетворяют уравнениям (3):

или.

Таким образом, вершина параболы (5) принадлежит и параболе (3).

. Сечение плоскостью ^

Возможны три случая:

1) – гипербола с действительной осью, параллельной оси Ox.

2) – пара прямых, пересекающихся в вершине O(0;0;0) поверхности.

3) – гипербола с действительной осью, параллельной оси Oy.

Аналогично можно показать, что в сечении поверхности (1) плоскостью с уравнением получается парабола, равная параболе. Оси этих парабол имеют положительное направление, определяемое вектором.

Таким образом, гиперболический параболоид получается параллельным переносом параболы с уравнением (5), когда ее вершина перемещается по параболе с уравнением (3). При этом в случае совпадения точки с началом координат O(0;0;0) параболы (5) и (2) совпадают.

Изобразим теперь гиперболический параболоид.