Евклидово точечное и n – мерное пространства

Определение 1: аффинное пространство называется евклидовым точечным или просто евклидовым пространством, если связанное с ним пространство является евклидовым векторным пространством и обозначается.

Замечание 1: точки и векторы являются основными объектами пространства , а операции над ними называются основными или неопределяемыми отношениями. Природа основных объектов может быть любой, требуется лишь, чтобы основные отношения удовлетворяли аксиомам всех пяти групп. Все другие объекты и отношения определяются через основные, а при доказательствах теорем используются лишь аксиомы и ранее доказанные их следствия. Все определения и теоремы, сформулированные для пространства верны и для пространства .

Определение 2: аффинная система координат в пространстве называется прямоугольной декартовой, если её координатные векторы , , образуют ортонормированный базис, связанного с ним евклидова векторного пространства .

Теорема 1: при переходе от одной из двух прямоугольных декартовых систем координат к другой координаты произвольной точки в старой системе выражаются через её координаты в новой системе координат формулами:

(1)

где (то есть матрицы ортогональны).

Эта теорема следует из теоремы (2) §2 и теоремы (3) §10, коэффициенты и имеют прежний геометрический смысл.

Пример 2: n=2, – евклидово пространство, формулы перехода известны из аналитической геометрии и являются частным случаем формул (1):

, ,

Определение 3: расстоянием от точки до точки пространства называется длина вектора и обозначается .

Пусть, в одной из прямоугольных декартовых систем координат , тогда, очевидно:

Теорема 2: для любых трёх точек , и справедливо неравенство треугольника:

(2)

□ По аксиоме треугольника из параграфа §1 имеем: или .

Так как (при это очевидно, а при следует из неравенства Коши – Буняковского, замечание (1), §10), то

, , то есть . ■

Замечание 2: очевидно, если совпадает с или , то в формуле (2) имеет место знак равенства. Если же не совпадает ни с , ни с , то равенство выполняется тогда и только тогда, когда лежит на прямой между точками и .

Определение 4: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки равны , называется гиперсферой с центром и радиусом .

Если , а - точка гиперсферы, то имеем и

(3)

Определение 5: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки не превышает , называется n – мерным шаром. Очевидно, n – мерный шар задаётся в пространстве неравенством:

(4)

Примеры (частные случаи):

1) n = 1,

- прямая,

пара точек отрезок длины

2) n = 2, E- плоскость:

(x- c)+ (x- c)= R- окружность (x- c)+ (x- c)R- круг

3) n=3, E:

- сфера - шар

Определение 6: r-мерный параллелепипед пространства Eназывается r-мерный кубом, если он натянут на точку А и единичные попарно ортогональные векторы: