Определение 1: аффинное пространство называется евклидовым точечным или просто евклидовым пространством, если связанное с ним пространство является евклидовым векторным пространством и обозначается.
Замечание 1: точки и векторы являются основными объектами пространства , а операции над ними называются основными или неопределяемыми отношениями. Природа основных объектов может быть любой, требуется лишь, чтобы основные отношения удовлетворяли аксиомам всех пяти групп. Все другие объекты и отношения определяются через основные, а при доказательствах теорем используются лишь аксиомы и ранее доказанные их следствия. Все определения и теоремы, сформулированные для пространства верны и для пространства .
Определение 2: аффинная система координат в пространстве называется прямоугольной декартовой, если её координатные векторы , , образуют ортонормированный базис, связанного с ним евклидова векторного пространства .
Теорема 1: при переходе от одной из двух прямоугольных декартовых систем координат к другой координаты произвольной точки в старой системе выражаются через её координаты в новой системе координат формулами:
|
|
(1)
где (то есть матрицы ортогональны).
Эта теорема следует из теоремы (2) §2 и теоремы (3) §10, коэффициенты и имеют прежний геометрический смысл.
Пример 2: n=2, – евклидово пространство, формулы перехода известны из аналитической геометрии и являются частным случаем формул (1):
, ,
=.
Определение 3: расстоянием от точки до точки пространства называется длина вектора и обозначается .
Пусть, в одной из прямоугольных декартовых систем координат , тогда, очевидно:
Теорема 2: для любых трёх точек , и справедливо неравенство треугольника:
(2)
□ По аксиоме треугольника из параграфа §1 имеем: или .
Так как (при это очевидно, а при следует из неравенства Коши – Буняковского, замечание (1), §10), то
, , то есть . ■
Замечание 2: очевидно, если совпадает с или , то в формуле (2) имеет место знак равенства. Если же не совпадает ни с , ни с , то равенство выполняется тогда и только тогда, когда лежит на прямой между точками и .
Определение 4: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки равны , называется гиперсферой с центром и радиусом .
Если , а - точка гиперсферы, то имеем и
(3)
Определение 5: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки не превышает , называется n – мерным шаром. Очевидно, n – мерный шар задаётся в пространстве неравенством:
(4)
Примеры (частные случаи):
1) n = 1,
- прямая,
пара точек отрезок длины
2) n = 2, E- плоскость:
|
|
(x- c)+ (x- c)= R- окружность (x- c)+ (x- c)R- круг
3) n=3, E:
- сфера - шар
Определение 6: r-мерный параллелепипед пространства Eназывается r-мерный кубом, если он натянут на точку А и единичные попарно ортогональные векторы:
= t+ t+…+ t, 1 r n,
0 t1, i =1,2,3,…r, M E, =1, , ij.
Примеры (частные случаи):
1) r =1 - отрезок длины 1:
A B AB=1
2) r = 2 - квадрат со стороной 1:
.
3) r =8 – куб с ребром 1: