Групповой подход к геометрии

Во второй половине XIX века немецкий математик Феликс Клейн (1849-1925) определил геометрию как науку о свойствах фигур, не изменяющихся при всех преобразованиях некоторой группы. Свои геометрические идеи он изложил в знаменитой работе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований» (1872).

Каждой группе преобразований соответствует своя геометрия, то есть можно построить много различных геометрий. Так группе аффинных преобразований соответствует аффинная геометрия, изучающая инварианты аффинных преобразований. Группе движений и группе подобий соответствует евклидова геометрия, которая для пространства Е₂ и Е₃ совпадает с элементарной геометрией. Центроаффинная геометрия изучает инварианты группы центроаффинных преобразований с общим центром (см. §9).

Свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы, сохраняются и при преобразовании любой её подгруппы. Обратное неверно: свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях подгруппы, могут не сохраняться при преобразованиях всей группы. Другими словами, при переходе от подгруппы к группе количество инвариантных свойств фигур уменьшается. Проследим это на схеме.

Каждая стрелка указывает на подгруппу соответствующей группы.

Пример 1: группа движений является подгруппой группы аффинных преобразований, поэтому евклидова геометрия богаче по содержанию, чем аффинная геометрия. Лишь часть понятий и теорем евклидовой геометрии относится и к аффинной геометрии. Аффинное преобразование сохраняет параллельность прямых и отображает середину отрезка также на середину отрезка. Значит, понятия трапеции, параллелограмма, средней линии, теоремы о параллельности средней линии трапеции и её оснований относятся к аффинной и евклидовой геометриям одновременно. Однако, при аффинных преобразованиях могут изменяться расстояния между точками и углы между векторами, поэтому теорема Пифагора не является теоремой аффинной геометрии.

Определение 1: фигура F₁ называется эквивалентной фигуре F₂ относительно данной группы преобразований G, если в G имеется преобразование f, отображающее F₁ на F₂:

Эквивалентность фигур обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то есть является отношением эквивалентности. Эквивалентные отношения данной группы преобразований фигуры обладают одинаковыми свойствами, то есть в соответствующей этой группе геометрии не различаются.

Пример 2: в аффинной геометрии эквивалентными являются аффинно-эквивалентные фигуры, а в евклидовой геометрии – равные фигуры.

В каждой геометрии все фигуры разбиваются на непересекающиеся классы так, что любые две фигуры одного класса эквивалентны круг другу и не отличаются по своим свойствам, а любые две фигуры из разных классов не эквивалентны.

Пример 3: в аффинной геометрии все треугольники образуют один класс, так как любые два треугольника аффинно-эквивалентные. Других фигур этот класс не содержит, потому что треугольник аффинно-эквивалентен только треугольнику.

В евклидовой же геометрии все треугольники разбиваются на различные классы таким образом, чтобы любые два треугольника из одного класса равны друг другу, но не равны треугольникам из других классов (существует равнобедренные, но не равные друг другу треугольники).

Замечание: определению геометрии по Клейну удовлетворяют многие важные геометрические теории, в том числе проективная геометрия и геометрия Лобачевского. Однако, это определение не исчерпывает всего богатства содержания геометрии, особенно современной. Групповой подход к изучению геометрии позволяет установить многочисленные связи между различными геометриями.