Привидение уравнения квадрики к нормальному виду

Пусть в аффинном пространстве A_n квадрика заданна в некоторой аффинной системе координат уравнением:

, . (1)

Даже при небольших значениях n уравнение (1) является громоздким. Упростить это уравнение путём надлежащего выбора системы координат позволяет следующая основная теорема.

Теорема 1:При соответственном выборе аффинной системы координат уравнение (1) любой квадрики в A_n может быть приведено к одному и только одному из следующих видов:

где (2)

где (3)

(4)

где , а числа всюду равны +1 или -1.

□ [5] Т. с. 83-85.

Определение 5: Уравнения (2), (3) и (4) называются нормальными видами уравнения квадрики.

Теорема 2:Если уравнение квадрики имеет вид (2) или (3), то точка S(), для которой , является центром квадрики.

□ Если точки и , симметричны относительно точки S, то или . По условию , для , тогда ,,..., . Очевидно, если координаты точки удовлетворяют уравнениям (2) или (3), то ему же и удовлетворяют координаты точки ,то если точка принадлежит квадрике, то и точка ей принадлежит. По определению (3) §19 точка S – центр данной квадрики. ■

Замечание 1:Из теоремы (2) следует, что все точки (n-m) – мерной плоскости , задаваемой уравнением , являются центрами квадрики (2) или (3). Других центров эти квадрики не имеют. При m=n плоскость является нуль - мерной и совпадает с началом координат .

Замечание 2: В уравнении (4) переменная содержится в первой степени, при замене на уравнение (4) изменится, значит, квадрика с таким уравнением не имеет ни одного центра.

Замечание 3: Согласно теореме (1) для любой квадрики имеет место один и только один случай:

1) квадрика не имеет центра (неустойчивая);

2) квадрика имеет единственный центр (центральная);

3) квадрика имеет бесконечное множество центров (с многомерной плоскостью центров).

§21.Классификация квадрик в пространстве A _n

I. Эллипсоиды и гиперболоиды

Уравнение (2) из §20 при m=n принимает вид:

, (1)

Числа равны .

В зависимости от знаков получаются квадрики разных видов.

1) При квадрика называется эллиптической и имеет уравнение .

Замечание 1: В аффинной геометрии отсутствует понятие расстояния между точками, поэтому нет и понятия сферы и эллипсоида вращения.

2) При уравнение (1) имеет вид: и определяет пустое множество точек, но по аналогии с предыдущем случаем называется мнимым эллипсоидом.

3) Если числа не все одинаковы, то квадрика называется гиперболоидом.

Замечание 2: Согласно теореме (2) из §20 эллипсоиды и гиперболоиды с уравнением (1) являются центральными квадриками; их центр совпадает с началом координат.

Примеры:

1) n=1

Для аффинной прямой A₁ имеем уравнение и , задающие соответственно пару точек и пустое множество.

2) n=2, квадрики аффинной плоскости:

- эллипс

- мнимый эллипс

- гиперболы, взаимно сопряжённые.

3) n=3, квадрики пространства :

- эллипсоид

- мнимый эллипсоид

- однополостный гиперболоид

- двуполостный гиперболоид

В остальных случаях следует изменить нумерацию координат.

II. Конические квадрики (конусы)

Уравнение (3) из §20 при m=n принимает вид:

(2)

где все равны .

1) Если значения не все одинаковы, то квадрика называется конусом. Это центральная квадрика, её центр совпадает с началом координат и называется вершиной.

Замечание 3: Если координаты точки , отличной от вершины конуса, удовлетворяют уравнению (2), то ему удовлетворяют так же координаты любой точки вида , . Множество всех таких точек является прямой, проходящей через точку A и вершину конуса – начало координат. Эта прямая называется его прямолинейной образующей.