Проективное пространство, его плоскости и прямые

Выберем в действительном n+1 -мерном аффинном пространстве А_n+1 точку О и рассмотрим множество всех проходящих через точку О прямых, двумерных плоскостей, трёхмерных плоскостей,..., n-мерных плоскостей (гиперплоскостей пространства А_n+1). Назовем это множество связкой с центром О в пространстве А_n+1 и будем обозначать его одной буквой О. Установим между различными элементами связки, т.е. её прямыми, двумерными плоскостями,..., (к+1)-мерными плоскостями, отношения инцидентности или взаимной принадлежности следующим образом:

k-мерная плоскость инцидентна (к+1)-мерной плоскости, если она содержится в ней.

Отношение инцидентности симметрично: если прямая d инцидентна плоскости , то говорят, что и плоскость инцидентна прямой d. Прямые связки О будем также называть ее лучами.

Опр. 1. Связку О пространства А_n+1 назовём действительным n-мерным проективным пространством и обозначим RPⁿ, соответственно переименовывая лучи, …, (к+1)-мерные плоскости связки в точке,..., k-мерные плоскости проективного пространства RPⁿ (размерность уменьшая на 1).

Опр. 2. Аффинная система координат пространства А_n+1, начало которой совпадает с центром данной связки, называется аффинной координатной системой связки О.

Опр. 3. Любая упорядоченная последовательность из n+1 чисел х₁, х₂,..., х_n+1, являющаяся координатами какого-либо направляющего вектора и данного луча m связки О, называется набором координат луча m в аффинной системе координат .

Замечание 1. Очевидно, набор, состоящий из одних лучей, является запрещенным и не рассматривается (не имеет направления). Кроме того, все наборы координат луча m образуют класс пропорциональных между собой числовых наборов и, обратно, всякий класс пропорциональных между собой числовых наборов из n+1 чисел х₁,х₂,..., х_n+1 является классом наборов координат некоторого луча m связки О относительно данной системы координат .

Отождествим каждый луч m связки О с классом наборов его координат относительно фиксированной аффинной системы координат . Тем самым мы приходим к понятию арифметического проективного пространства. Его точками являются всевозможные классы пропорциональных между собой наборов из n+1 чисел: если (х₁,х₂,..., х_n+1) || m, то M(х₁,х₂,..., х_n+1) и обратно.

Опр. 4. Назовём гиперплоскостью, т.е. (n-1)-мерной плоскостью проективного пространства RPⁿ, множество точек M(х₁,х₂,..., х_n+1), координаты которых удовлетворяют линейному однородному уравнению

, (1)

где коэффициенты u₁,u₂,..., u_n+1 определены с точностью до общего числового множителя и называются координатами данной гиперплоскости.

Опр. 5. Множество точек M(х₁,х₂,...,х_n+1), координаты которых удовлетворяют системе из n-r линейно независимых однородных уравнений вида:

(2)

называется r-мерной плоскостью n-мерного проективного пространства RPⁿ или коротко r-плоскостью. Ранг матрицы системы (2) равен n+l-(n-r) = г+1, значит, все её решения являются линейными комбинациями каких-нибудь независимых решений ,где .

Это позволяет получить параметрические уравнения r-плоскости:

(3)

где параметры независимо друг от друга всевозможные действительные значения.

В частности, параметрическое представление прямой в пространстве RPⁿ имеет вид:

, где , P(p₁,p₂,...,p_n+1) и Q(q₁,q₂,...,q_n+1) -некоторые её фиксированные точки, а числа и пробегают всевозможные числовые значения, кроме запрещенной пары .

Замечание 2. Множество всех гиперплоскостей n-мерного арифметического проективного пространства, а также множество всех его точек, находится в биективном соответствии с множеством всех классов, состоящих из пропорциональных между собой наборов из n+1 чисел. Точка то M(х₁,х₂,..., х_n+1) и гиперплоскость (u₁,u₂,..., u_n+1) инцидентны, если .

Между точками и гиперплоскостями проективного пространства имеется равноправие, выражающееся в следующем принципе (от PRINCIPIUM - (лат.) - основное, исходное положение какой-либо теории или учения).

Принцип двойственности: если верно какое-нибудь утверждение об инцидентности точек и гиперплоскостей проективного пространства, то при замене в данном предложении слова «точка» словом «гиперплоскость» и наоборот и сохранении инцидентности получается также верное утверждение *, двойственное утверждению .

Например, для проективной плоскости при n=2 имеем : «любой прямой инцидентно бесконечно много точек», *: «любой точке инцидентно бесконечно много прямых».