2014-02-24
4885
Определение 1: Линейное отображение векторного пространства 
в себя называется линейным оператором:
1) 
, 2) 
, 
.
Определение 2: Линейный оператор 
евклидового векторного пространства называется симметрическим, если
для 
. (1)
То есть, символ симметрического оператора при скалярном умножении можно перенести одного вектора на другой.
если - биекция
Теорема 1: симметрический линейный оператор в любом ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу.
□ Пусть симметрический линейный оператор имеет в ортонормированном базисе 
матрицу 
. Положим в формуле (1) 
и 
, тогда 
(2)
Так как векторы 
также являются базисными и выражаются через вектора 
с помощью матрицы 
то имеем:
(3) - вследствие ортогональности базиса.
Аналогично получаем
(4)
Из равенств (2), (3), (4) следует, что 
для любых 
, то есть матрица 
- симметрическая. ■
Теорема 2(обратная): если линейный оператор хотя бы в одном ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу, то он является симметрическим.
□ Пусть в ортонормированном базисе 
матрица 
линейного оператора симметричная: (5)
Тогда для 
получаем:
(6)
и 
(7)
Из равенств (5), (6), (7) следует, что 
, то есть оператор - симметрический. ■
Теорема 3: характеристическое уравнение 
симметрического линейного оператора может иметь только действительные корни 
матрицы, 
собственное значение вектора 
□■
Следствие: любой симметрический линейный оператор имеет хотя бы одно собственное значение.
Замечание 2: согласно основной теореме алгебры любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. В частности, характеристическое уравнение симметрического линейного оператора обладает этим свойством. По теореме 3 это число 
- действительное, оно является собственным значением данного оператора. Числа 
, являются решениями векторного уравнения 
, также действительны и представляют собой координаты собственного вектора 
, соответствующего собственному значению .
Теорема 4: собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие его различным собственным значениям, ортогональны между собой.
□ Пусть и 
причем 
. Так как - симметрический линейный оператор, то 
или 
.
Так как , то 
или 
. ■
Теорема 5: для любого симметрического линейного оператора евклидова векторного пространства существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого оператора.
□ [5], с. 99-100, Т.2 (метод математической индукции).
Следствие: матрица симметрического линейного оператора с помощью соответствующего выбора ортонормированного базиса может быть приведена к диагональному виду; этот базис состоит из нормированных собственных векторов данного оператора.
