Полюс и поляра

Определение 1: пусть даны овальная линия второго порядка ω с уравнением:

с₁₁x₁²+ с₂₂x₂²+ с₃₃x₃²+ 2c₁₂x₁x₂+ 2c₁₃x₁x₃+ 2c₂₃x₂x₃= 0 (1)

к точке А (a₁: a₂: a₃)_Rотносительно некоторого R проективной плоскости P₂ (не все c_ij=0, I,j=1,2,3).

Прямая a с уравнением

(с₁₁a₁+ с₁₂a₂+ с₁₃a₃)∙x₁+ (с₂₁a₁+ с₂₂a₂+ с₂₃a₃)∙x₂+ (с₃₁a₁+ с₃₂a₂+ с₃₃a₃)∙x₃ = 0, (2)

где c_ij=c_ji называется полярой точки А относительно линии ω, а точка А называется полюсом прямой a относительно линии ω.

Теорема 1 (принцип взаимности): Если точка А лежит на поляре в точки В относительно овальной линии 2 – го порядка ω, то и точка В лежит на поляре а точки А:

Доказательство:

⁫ Если линия ω имеет уравнение (1), то поляра а точки А имеет уравнение (2), и поляра b точки В (b₁: b₂: b₃)_R – уравнение:

(с₁₁b₁+ с₁₂b₂+ с₁₃b₃)∙x₁+ (с₂₁b₁+ с₂₂b₂+ с₂₃b₃)∙x₂+ (с₃₁b₁+ с₃₂b₂+ с₃₃b₃)∙x₃ =0 (3)

По условию теоремы , следовательно, координаты точки А удовлетворяют уравнению (3):

(с₁₁b₁+ с₁₂b₂+ с₁₃b₃)∙ a ₁+ (с₂₁b₁+ с₂₂b₂+ с₂₃b₃)∙ a ₂+ (с₃₁b₁+ с₃₂b₂+ с₃₃b₃)∙ a₃ = 0

Сгруппируем члены с координатами b₁, b₂, b₃:

(с₁₁a₁+ с₁₂a₂+ с₁₃a₃)∙ b ₁+ (с₂₁a₁+ с₂₂a₂+ с₂₃a₃)∙ b ₂+ (с₃₁a₁+ с₃₂a₂+ с₃₃a₃)∙ b ₃ = 0

Так как c_ij=c_ji, то координаты b₁, b₂, b₃ точки В удовлетворяют уравнению (1), то если ▄

Следствие: если на проективной плоскости Φ₂выбрана некоторая овальная линия второго порядка ω, то между точками и прямыми проективной плоскости Φ₂установлено взаимно-однозначное (объективное соответствие). При этом каждой точки соответствует определенная прямая – её поляра относительно ω, а каждой прямой определенная точка – её полюс относительно ω.

Это соответствие сохраняет взаимную принадлежность точки и прямой и называется полярным соответствием.

Остальные теоремы э того параграфа сформулируем без доказательств.

Теорема 2: Если точка лежит на овальной линии 2-го порядка, то её поляра является касательной к графику этой линии в этой точке.

Способ построения этой касательной будет описан на практическом занятии (с помощью одной линейки)

Теорема 3: Если точка А не лежит на овальной линии 2-го порядка ω, то её поляра а является множеством точек, гармонически сопряженных с точкой А относительно точек пересечения с линией ω всевозможных секущих, проходящих через точку А.

(4)

Теорема 4: Если точка А не лежит на овальной линии 2-го порядка ω, то её полярой а является диагональ полного четырехугольника, вписанного в ω, у которого точка А – диагональная точка, не лежащая на этой диагонали.

MN =a – поляра точки А относительно линии ω

M, N, A – диагональные точки полного четырехугольника СС₁DD₁вписанного в овал ω

Пример 1: Построить поляру а точки А, не лежащей на данной овальной линии 2 порядка ω.

Способ 1: (основан на теореме 3).

Будем использовать чертеж к этой теореме.

Построение: 1) Проведем через точку А две произвольные секущие CD и C₁D₁

2) Строим на них точки B и B₁к точкам A, C, D и A₁, C₁, D₁

(см. пример 1 из §14.)

3) a = BB₁ – искомая поляра точки А.

Способ 2: (основан на теореме 4).

Будем использовать чертеж к этой теореме

Построение: 1) Проведем через точку А две произвольные секущие CD и C₁D₁;

2) Строим диагональ MN полного четырехвершинника CC₁DD₁:

a=MN – искомая поляра точки А.

Способ 3: (основан на теоремах 1 и 2).

Случай 1: Точка А лежит вне овала ω:

1) Проведём через точку А две касательные b и c к овалу:

2) a= BC – искомая поляра точки А.

Доказательство:

⁫ По теореме 2, касательные b и с к ω являются полярами точек B и С, так как .

По теореме 1 (принцип взаимности):

Случай 2: точка А лежит внутри овала :

1. Проведем через точку А две секущие b и c к овалу ;

2. Строим их полюсы B и C, как и в случай 1;

3. - искомая поляра точки А.

Доказательство проводится аналогично как и в случае 1.

Замечание: Касательные к овалу строятся проектированием линейки к овалу в соответствующей точке, поэтому способ 3 является приближенным (прямая определяется однозначно двумя своими точками).

Пример 2: Построить полюс А прямой а относительно данной овальной линии второго порядка .

Построение () (см. рисунок к случаю 2).