II Основные факты проективной геометрии
Определение 1: Пусть A, B, C, D – четыре различные точки проективной прямой Р1, порождающие их векторы , , связаны соотношениями:
(1) | |
(2) |
Тогда двойственным или сложным отношением точек A, B, C, D называется число
(3) |
Замечание 1: (AB, CD)≠0 и (AB, CD)≠1.
1) Если =0, то =0 и либо =0, либо =0. В случае =0 имеем и точки D и В совпадают (порождаются коллинеарными векторами). В случае =0 имеем и точки С и Ф совпадают. Точки же A, B, C, D предполагаются различными.
2) Если =1, то =, то есть векторы коллинеарны и порождают одну точку, но С не совпадает с D.
Теорема 1: двойное отношение точек A(a1:a2)R, B(b1:b2)R, C(c1:c2)R, D(d1:d2)R, где R=(e1;e2;e) вычисляется по формуле:
(4) |
Доказательство:
Из соотношения (1) следует, что:
По формулам Крамера имеем:
, .
Аналогично из соотношения (2) следует, что:
По формулам Крамера имеем:
, .
Подставляя значения в формулу (3), сокращая и переставляя столбцы в двух определителях, получаем искомую формулу (4).
Следствие 1:
а) двойное отношение не изменится, если в нем поменять местами пары точек:
|
|
(5) |
б) двойное отношение изменится на обратное, если поменять местами точки в одной из пар:
(6) |
Доказательство:
Для проверки этих равенств достаточно каждое из двойных отношений выразить по формуле (4).
Следствие 2: двойное отношение четырех собственных точек A(a), B(b), C(c), D(d) расширенной евклидовой прямой выражается через их неоднородные координаты а, в, с, d по формуле:
(7) |
Доказательство:
По теореме из § 7 имеем: (точка А – собственная).
Так как проективные координаты а1 и а2 точки А определены с точностью до общего множителя, то положив а2=1, имеем а1=а. Аналогично получаем . Если с2=1, то с1=с.
Отсюда: .
Заменяя определители в раенстве (4) указанным способом, приходим к равенству (7).
Определение 2: если , то четверка точек называется гармонической, пары точек A, B и C, D называются гармонически сопряженными, а точка D четвертой гармонической точкой к точкам А, В, С.
Теорема 2: на расширенной евклидовой прямой середина отрезка гармонически сопряжена с несобственной точкой Р∞ относительно его концов.
Доказательство:
Пусть С – середина отрезка АВ прямой и на ней введена неоднородная система координат О.
Тогда и c-a=b-c, то есть .
Пусть теперь – некоторая собственная точка прямой . Тогда по следствию 2 из теоремы 1 имеем:
.
Если устремить точку D к несобственной точке Р∞, то d→∞ и окончательно получим:
при d→∞.
Итак, (АВ, СР∞)= -1.
Теорема 3: <0 óA, B ÷ C, D – пары A, B и C, D разделяют друг друга.
Следствие: гармонически сопряженные пары точек разделяют друг друга: = -1<0 => (A, B) ÷ (C, D).
|
|
Теорема 4: двойное отношение четырех точек прямой не меняется при проективном отображении, в частности при перспективном отображении (центральном проектировании). Обратно, всякое отображение прямой, сохраняющие двойное отношение любых четырех ее точек, является проективным отображением этой прямой.
Доказательство следует из определения проективного отображения и теоремы 1 (формула 4).
Определение 3: двойным или сложным отношением четырех прямых пучка называется двойное отношениечетырех точек, в которых эти прямые пересекаются с произвольной прямой р, не проходящей через центр пучка S: (ab, cd) = (AB, CD).
Замечание 2: согласно теореме 4, двойное отношение четырех прямых не зависит от выбора секущей прямой р: (ab, cd) = (AB, CD) = (A’B’, C’D’).
Теорема 5: – связь сложного отношения с простыми отношениями.