Основное уравнение гидростатики

Преобразуем систему уравнений (2.15). Для этого умножим первое уравнение на dx, второе – на dy, третье – на dz

. (2.16)

Сложив левые и правые части уравнения системы, получим дифференциальное уравнение равновесия жидкости

. (2.17)

Правая часть уравнения представляет собой полный дифференциал давления , тогда можно записать вместо (2.17)

. (2.18)

Полученное уравнение является основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. Однако, гораздо чаще пользуются уравнением в более простой форме, когда из объёмных сил действует только сила тяжести. В этом случае A_x =0, A_y =0, A_z = - g и уравнение запишется в виде

. (2.19)

Проинтегрировав (2.19), получим основное уравнение гидростатики в виде

. (2.20)

Проиллюстрируем полученное уравнение. Для этого рассмотрим замкнутый сосуд с жидкостью, плотность которой и на поверхности которой давление р _о

Рис. 2.2. Замкнутый сосуд с жидкостью

Выбираем произвольную точку 1, расположенную на высоте z ₁. На основании основного уравнения гидростатики (2.20) можно записать

(2.21)

здесь p₁ - гидростатическое давление в точке 1;

z₁ - высота положения выбранной точки над плоскостью сравнения.

Сумма гидростатического давления и произведения ρgz является величиной, постоянной для данного сосуда. Если для сравнения выберем точку 0 на поверхности жидкости, высота которой z₀, то уравнение (2.21) приобретёт вид

откуда,

(2.22)

где (z₀- z₁)= h₁ глубина погружения точки 1.

Соответственно, давление в произвольной точке будет равно сумме давления на поверхности жидкости плюс давление столба жидкости над этой точкой

(2.23)

Полученное уравнение (2.23) – это ещё одна, часто употребляемая формула основного уравнения гидростатики.