Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Данные уравнения являются наиболее простыми из дифференциальных уравнений. Однако решение многих типов дифференциальных уравнений сводится к решению дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

В общем случае данные уравнения можно записать в виде

или

где - непрерывные функции.

Для нахождения общего решения уравнения переменные x и y в уравнении с помощью алгебраических действий разделяют так, чтобы в каждом слагаемом уравнения содержалась только одна переменная и ее дифференциал, либо x и dx, либо y и dy. Дифференциалы dx и dy. должны быть всегда в числителях дробей.

Разделяем переменные. Уравнение вида

делим на , получаем Þ

После того, как переменные разделены, решение уравнения сводится к интегрированию. Записываем

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к нахождению интегралов.

Если уравнение имеет вид , то переменные разделяем следующим образом

Если решение дифференциального уравнения сведено к нахождению интегралов, то считается, что оно в принципе решено. Поэтому часто говорят не решить, а проинтегрировать дифференциальное уравнение.

Пример 7.7. Для дифференциального уравнения найти общее решение и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: при . Построить несколько интегральных кривых.

Рис. 82

Находим

. Общий интеграл уравнения можно записать в виде

, где

. Интегральными кривыми являются окружности радиуса С (рис. 82)

Найдем частное решение. Подставим значения и в общий интеграл, получим . Частный интеграл .

Пример 7.8. Найти частное решение дифференциального уравнения , если при х = 0 .

Разделим переменные и проинтегрируем

Þ Þ

, где .

Тогда .

Произвольная постоянная в решениях дифференциальных уравнений может принимать любые значения . Данный интервал также является множеством значений логарифма . Поэтому при записи общего решения для более удобного вида часто произвольную постоянную представляют в виде логарифма, а затем освобождаются от логарифмов (потенцируют).

Отметим также следующее. В тех случаях, когда при интегрировании дифференциальных уравнений появляются логарифмы, обычно модули под логарифмами не ставят в расчете на то, что при нахождении частных решений выражения под логарифмами будут положительными за счет выбора начальных условий.

Найдем значение произвольной постоянной при . Получаем , отсюда С = 3. Частное решение .

Пример 7.9. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях х = 1 .

Разделим переменные и проинтегрируем

Находим .

Получаем , .

Общее решение .

Подставим начальные условия в общее решение, найдем значение произвольной постоянной .

Частное решение .

(дифференциальные уравнения с однородными функциями)

Функция называется однородной n -го измерения, если , где t – параметр.

Например, для функции находим

Следовательно, эта функция второго измерения (n = 2).

Покажем, что частное двух однородных функций и одного и тоже измерения есть однородная функция нулевого измерения. Действительно,

Однородными дифференциальными уравнениями называются уравнения вида

где и - однородные функции одного измерения.

Данное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого преобразуем уравнение

Обозначим . Тогда уравнение примет имеет вид

где - однородная функция нулевого измерения, т. е.

Если принять параметр , то .

Уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

или ,

где u = u (x)- функция от x.

Найдем производную и подставим ее в уравнение, получим

Разделим переменные и проинтегрируем

Þ .

Решение уравнения сведено к нахождению интегралов. В результате интегрирования будет получен общий интеграл . Для нахождения общего интеграла исходного дифференциального уравнения необходимо сделать обратную замену переменной , в результате которой общий интеграл будет иметь вид