Уравнения в полных дифференциалах

Может случиться, что левая часть дифференциального уравнения

(7)

является полным дифференциалом некоторой функции :

,

и следовательно, уравнение (7) принимает вид .

Если функция является решением уравнения (7), то , и, следовательно,

, (8)

где — постоянная, и наоборот, если некоторая функция обращает в тождество конечное уравнение (8), то, дифференцируя полученное тождество, получим , и следовательно, , где — произвольная постоянная, является общим интегралом исходного уравнения.

Если даны начальные значения , то постоянная определяется из (8) и

(9)

является искомым частным интегралом. Если в точке , то уравнение (9) определяет как неявную функцию от .

Для того, чтобы левая часть уравнения (7) являлась полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы

. (10)

Если это условие, указанное Эйлером, выполнено, то уравнение (7) легко интегрируется. Действительно, . С другой стороны, . Следовательно,

,

откуда .

При вычислении интеграла величина рассматривается как постоянная, поэтому является произвольной функцией от . Для определения функции дифференцируем найденную функцию по и, так как , получим

.

Из этого уравнения определяем и, интегрируя, находим .

Как известно из курса математического анализа, еще проще можно определить функцию по ее полному дифференциалу , взяв криволинейный интеграл от между некоторой фиксированной точкой и точкой с переменными координатами по любому пути:

.

Чаще всего в качестве пути интегрирования удобно брать ломаную, составленную из двух звеньев, параллельных осям координат; в этом случае

или .

Пример. .

Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции , так как

Следовательно, общий интеграл имеет вид

.

Можно применить и другой метод определения функции :

За начальную точку выбираем, например, начало координат, в качестве пути интегрирования —ломаную. Тогда

и общий интеграл имеет вид

, что совпадает с предыдущим результатом, приводя к общему знаменателю.

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (7) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию , после умножения на которую левая часть уравнения (7) превращается в полный дифференциал . Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль.

Пример. .

Очевидно, что после умножения на множитель левая часть превращается в полный дифференциал. Действительно, после умножения на получим

или, интегрируя, . Умножая на 2 и потенцируя, будем иметь .

Конечно, далеко не всегда интегрирующий множитель подбирается столь легко. В общем случае для нахождения интегрирующего множителя надо подобрать хотя бы одно не равное тождественно нулю частное решение уравнения в частных производных , или в развернутом виде

,

которое после деления на и переноса некоторых слагаемых в другую часть равенства приводится к виду

. (11)

В общем случае интегрирование этого уравнения в частных производных является задачей отнюдь не более простой, чем интегрирование исходного уравнения, однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (11) не представляет затруднений.

Кроме того, считая, что интегрирующий множитель является функцией только одного аргумента (например, является функцией только или только , или функцией только , или только и т.д.), можно уже без труда проинтегрировать уравнение (11) и указать условия, при которых интегрирующий множитель рассматриваемого вида существует. Тем самым выделяются классы уравнений, для которых интегрирующий множитель легко может быть найден.

Например, найдем условия, при которых уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от , т.е. . При этом уравнение (11) упрощается и приобретает вид , откуда, считая непрерывной функцией от , получим

,

. (12)

Можно считать , так как достаточно иметь лишь один интегрирующий множитель.

Если является функцией только от , то интегрирующий множитель, зависящий лишь от , существует и равен (12), в противном случае интегрирующего множителя вида не существует.

Условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от , выполнено, например, для линейного уравнения или . Действительно, и, следовательно, . Совершенно аналогично могут быть найдены условия существования интегрирующих множителей вида и т.д.

Пример. Имеет ли уравнение интегрирующий множитель вида ?

Обозначим . Уравнение (11) при принимает вид , откуда или

(13)

где .

Для существования интегрирующего множителя заданного вида необходимо и в предположении непрерывности достаточно, чтобы была функцией только . В данном случае , следовательно, интегрирующий множитель существует и равен (13). При получим . Умножая исходное уравнение на , приведем его к виду

или , .

Интегрируя, получим , а после потенцирования будем иметь , или в полярных координатах — семейство логарифмических спиралей.

Пример. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению все лучи, выходящие из заданной точки.

Поместим начало координат в заданную точку и направим ось абсцисс параллельно заданному в условиях задачи направлению. Пусть луч падает на зеркало в точке . Рассмотрим сечение зеркала плоскостью , проходящее через ось абсцисс и точку . Проведем касательную к рассматриваемому сечению поверхности зеркала в точке . Так как угол падения луча равен углу отражения, то треугольник — равнобедренный. Следовательно,

.

Полученное однородное уравнение легко интегрируется заменой переменных , но еще проще, освободившись от иррациональности в знаменателе, переписать его в виде . Это уравнение имеет очевидный интегрирующий множитель , , , (семейство парабол).

Эта задача еще проще решается в координатах и , где , при этом уравнение сечения искомых поверхностей приобретает вид .

Можно доказать существование интегрирующего множителя, или, что то же самое, существование ненулевого решения уравнения в частных производных (11) в некоторой области, если функции и имеют непрерывные производные и по крайней мере одна из этих функций не обращается в нуль. Следовательно, метод интегрирующего множителя можно рассматривать как общий метод интегрирования уравнений вида , однако ввиду трудности нахождения интегрирующего множителя этот метод чаще всего применяется в тех случаях, когда интегрирующий множитель очевиден.