Анализ устойчивости по корням характеристического уравнения системы

ГЛАВА 7. Устойчивость линейных систем автоматического регулирования (управления)

Процесс регулирования может быть сходящимся (регулируемый параметр стремится к положению равновесия) или расходящимся (регулируемый параметр все время уходит от положения равновесия). Колебательные процессы могут быть затухающими (сходящимися), незатухающими (колебания с постоянной амплитудой) и расходящимися.

Ясно, что системы, в которых возникают расходящиеся процессы (чаще всего колебательные), являются неработоспособными. Они приводят к нарушению хода технологического процесса, что может вызвать аварии, для предотвращения которых срабатывает аварийная защита. Для описания характеристик отмеченных особенностей поведения систем регулирования введено понятие «устойчивость».

Устойчивость автоматической системы – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения возмущения, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.

Сущность устойчивости, неустойчивости и виды процессов (апериодический или колебательный) определяется характером свободного движения системы.

Дифференциальное уравнение свободного движения линейной системы автоматического управления, записанное в операторном виде, для свободной составляющей регулируемой величины j_св(t), имеет вид

. (7.1)

Вынужденная составляющая регулируемой величины, зависящая от вида внешнего возмущения и правой части уравнения системы регулирования, на устойчивость системы не влияет.

Система будет устойчивой, если свободная составляющая j_св(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю:

. (7.2)

Тогда выходная величина с течением времени будет стремиться к вынужденной составляющей. Устойчивость по (7.2) принято называть асимптотической устойчивостью.

Если свободная составляющая с течением времени неограниченно растет, т.е.

, (7.3)

то система неустойчива.

Если свободная составляющая j_св(t) не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим эти случаи качественно на примере полученного ранее уравнения системы, составленного для внешнего возмущения l.

Уравнение вынужденного движения системы

. (7.4)

Решением уравнения является сумма двух составляющих

,

где j_св(t) – свободная составляющая, получаемая из решения уравнения свободного движения системы, а j_вын(t) – вынужденная составляющая, получаемая из уравнения вынужденного движения системы (7.4).

Уравнение свободного движения системы

. (7.5)

Решением уравнения (7.5) является сумма экспонент

, (7.6)

где р ₁ и р ₂ – корни характеристического уравнения системы; С ₁ и С ₂ – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий.

Характеристическое уравнение системы

. (7.7)

Запишем это уравнение в более удобном виде (как при рассмотрении инерционного звена второго порядка):

. (7.8)

Здесь ; .

Уравнение имеет два корня р ₁ и р ₂:

, (7.9)

где ; .

Все случаи устойчивости зависят от вида корней характеристического уравнения: они могут быть действительными числами или комплексно-сопряженными числами. Если корни характеристического уравнения –действительные числа, то процесс будет апериодическим, а при комплексных числах – колебательным.

Рассмотрим эти случаи.

1. Корни характеристического уравнения р ₁ и р ₂ – действительные числа.

Они получаются, если в подкоренном выражении, т.е. . При этом соотношения коэффициентов получаем действительные корни. Они в общем случае могут быть положительными или отрицательными: р _1,2 > 0; р _1,2 < 0:

а) при р _1,2 < 0 экспоненты с отрицательными показателями и в уравнении (7.6) с течением времени t стремятся к нулю, следовательно, свободная составляющая j_св(t) стремится к нулю. Система будет устойчивой, процесс регулирования – апериодическим (рис. 7.1);

Рис. 7.1. Процесс апериодический: 1 – статическая система (П-закон); 2 – астатическая система (ПИ-, ПИД-законы). Процессы апериодические (неколебательные). Системы устойчивы.

б) при р _1,2 > 0 экспоненты с положительным показателем с течением времени будут стремиться к бесконечности, следовательно, свободная составляющая регулируемого параметра j_св(t) также стремится к бесконечности. Процесс будет апериодическим, система неустойчива (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Процесс апериодический. Система неустойчива.

2. Корни характеристического уравнения р₁ и р₂ – комплексные числа (колмплексно-сопряженные).

Они получаются при Т ₁< 2 Т ₂. Тогда подкоренное выражение <0.

, (7.10)

где ; ; .

Решение дифференциального уравнения опять зависит от экспоненты при :

.

Наличие и говорит о том, что процесс регулирования будет колебательным, а е ^{a t} определяет амплитуду колебаний. Следовательно, рост или затухание амплитуды колебаний с течением времени зависит от того, больше или меньше нуля действительная часть a комплексного числа:

а) a<0, . С течением времени колебания затухают. Система устойчива (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Колебательный процесс регулирования: 1 – П, ПД-законы; 2 – ПИ, ПИД-законы Системы устойчивы

б) a>0, . С течением времени амплитуда колебаний растет. Система неустойчива (рис. 7.4).

Если поведение системы описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, то общее решение также представлено в виде суммы экспонент:

Рис. 7.4. Колебательный процесс регулирования. Система неустойчива.

Все предыдущие рассуждения имеют силу и в этом случае, только для всех корней р ₁, р ₂, р ₃, р ₄, ….

Общее условие устойчивости по корням характеристического уравнения системы:

Для того, чтобы система автоматического регулирования была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все действительные корни характеристического уравнения системы и все действительные части комплексно-сопряженных корней были отрицательны. Если, хотя бы один из действительных корней или действительная часть одного комплексно-сопряженного корня будут положительны, система будет неустойчивой.

3.Если действительная часть комплексно-сопряженных корней равна нулю (a=0), система находится на границе устойчивости.

Действительно, тогда

.

Система совершает колебания с постоянной амплитудой.

Таким образом, устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость – это внутренне свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних воздействий.

Если система описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, то определить его корни решением уравнения невозможно. В теории автоматического регулирования (управления) разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая характеристического уравнения и не находя числовых значений самих корней. Эти правила называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости могут быть алгебраическими и частотными.

Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения.

Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик системы. Наиболее распространенными в инженерной практике являются алгебраический критерий устойчивости Гурвица и частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста.