Графики

1. Графиком функции y = f(x) называется совокупность точек

координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют

уравнению данной функции.

2. Графики часто встречающихся функций:

y = x y = –x

y = 2 x = 2

y = k∙x + b − прямая;

Прямую строим по двум точкам, придавая аргументу x два любых значения, а затем с помощью линейки проводим непосредственно прямую.

парабола квадратная парабола кубическая

y = x² y = x³

(полупарабола)

две гиперболы

показательная функция

y = sin x

y = cos x

y = tg x

y = ctg x

y = sec x

y = cosec x

y = arcsin x y = arccos x

−1 ≤ x ≤ 1 ≤ arcsin x ≤ 0 ≤ arcos x ≤ π

y = arctg x

y = arcctg x

−∞ < x < +∞ < arctg x < 0 < arcctg x < π

Функция “целая часть” или “антье”:

функцией антье (y = [x] или иногда y = a(x)) называется функция, принимающая для каждого значения x значение, равное наибольшему целому числу, не превосходящего этого x. Н а п р и м е р:

[1,2] = 1; [2,5] = 2; [4,87] = 4; [5] = 5;

[0] = 0; [−0,18] = −1; [−3,74] = −4; [−7] = −7;

y = [ x ]

Функция “дробная часть”: y = {x} = x – [x];

П р и м е р ы: {2} = 0; {−3} = 0;

{3,65} = 3,65 – [3,65] = 3,65 – 3 = 0,65;

{−2,37} = −2,37 – [−2,37] = −2,37 − (−3) = −2,37 + 3 = 0,63;

эта функция периодическая, основной период T = 1;

y = { x }

3. Преобразование графиков:

1) y = f(x) + c;

Пусть дан график функции y = f(x).

Тогда график функции y = f(x) + c получается из данного графика

путём его вертикального переноса вдоль оси oy:

вверх на c единиц при c > 0;

вниз на │ c │ единиц при c < 0;

2) y = f(x – a);

Горизонтальный перенос вдоль оси ox:

вправо на a единиц при a > 0;

влево на │ a│ единиц при a < 0;

3) y = −f(x); Переворот вокруг оси ox.

4) y = f(−x); Переворот вокруг оси oy.

5) y = k∙f(x); k > 0;

Точки пересечения с осью ox остаются прежними.

Растяжение вдоль оси oy в k раз при k > 1.

Сжатие вдоль оси oy в раз при 0 < k < 1.

6) y = f(p∙x); p > 0;

Сжатие вдоль оси ox к оси oy в p раз при p > 1.

Растяжение вдоль оси ox от оси oy в раз при 0 < p < 1.

7) y = │f(x)│;

Части графика y = f(x), расположенные ниже оси ox, отобразить

симметрично вверх относительно оси ox. После этого части графика

y = f(x), расположенные ниже оси ox, отбросить.

8) y = f(│x│);

Строим график функции y = f(x) при x ≥ 0.

После этого симметрично отображаем его относительно оси oy.

Отбрасывать ничего не надо.

9) │y│ = f(x); (геометрическое место точек)

Строим сначала график функции y = f(x).

Части графика y = f(x), расположенные ниже оси ox, отбрасываем.

К оставшимся частям достраиваем их отражения симметрично

относительно оси ox. (одному значению x соответствует два

значения y).

10) │y − b│ = f(x); (геометрическое место точек)

Строим сначала график │y│ = f(x).

После этого вертикально его переносим вдоль оси oy:

вверх на b единиц при b > 0;

вниз на │ b │ единиц при b < 0;

4. График квадратного трёхчлена:

парабола y = a∙x² + b∙x + c;

вершина параболы: точка A(x₀, y₀)

x₀ = −

y₀ = a∙x+ b∙x+ c; (подставляем x₀ в уравнение параболы)

направление ветвей параболы:

при a > 0 вверх;

при a < 0 вниз;

точка пересечения с осью oy: при x = 0 y = c;

точки пересечения с осью ox: корни x₁ и x₂;

5. График гиперболы (обязательно должно быть m ≠ 0):

вертикальная асимптота: m∙x + n = 0; x = −

горизонтальная асимптота: y =

точка пересечения с осью oy: при x = 0 y = ; (при n ≠ 0)

если встречается случай n = 0, то гипербола не пересекает ось oy;

точка пересечения с осью ox: a∙x + b = 0; x = −(при a ≠ 0)

если a = 0, то гипербола не пересекает ось ox.

6. Окружность

а) уравнение: (x – a)² + (y – b)² = R²;

центр окружности находится в точке C(a; b).

радиус окружности равен R;

б) уравнение: x² + y² = R²;

центр окружности находится в точке O(0; 0).

радиус окружности равен R;

7. Асимптоты графика функции

а) горизонтальные асимптоты

прямая y = a является горизонтальной асимптотой кривой y = f(x),

если ;

б) вертикальные асимптоты

прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x),

если или ;

в) наклонные асимптоты

если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = k∙x + b, то

; ;

8. Чётность и нечётность функции (укр. парність або непарність)

Функция y = f(x) называется:

чётной, если f(−x) = f(x);

нечётной, если f(−x) = −f(x).

График чётной функции обладает осевой симметрией относительно

оси oy.

График нечётной функции обладает центральной симметрией

относительно начала координат (поворот на 180°).

Производная (укр. похідна)

1. Определение производной:

Производной данной функции y = f(x) по аргументу x называется

предел отношения приращения функции ∆y к приращению

аргумента ∆x, когда последнее произвольным образом стремится

к нулю, т.е.

формула для приращения функции ∆y = f(x + ∆x) – f(x);

Обозначения производной:

y '; y '_x; f '(x); f '_x(a); y ' = 5; y '(2) = 5;

x = 2

; ; ;

y ''; y '''; y^IV; y^V; y⁽⁷⁾; y⁽ⁿ⁾;

; ; ; ;

Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

2. Геометрическая интерпретация производной:

Тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке дифферен −

цирования (угол отсчитывается от оси ox против часовой стрелки):

f '(x₀) = tg α;

y y = f(x)

tg α₁ > 0;

tg α₂ < 0;

α₁ α₂

0 x₀ x₀ x

3. Таблица производных:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

4. Вычисление дифференциала функции

∆y ≈ dy;

(находим производную и умножаем на dx)

5. Приближённые вычисления с помощью дифференциала

f(x₀ + ∆x) ≈ f(x₀) + f '(x₀)∙∆x;

6. Уравнение касательной

y – y₀ = (x – x₀)∙f '(x₀);

y = f(x) − данная функция;

M(x₀; y₀) − точка касания;

7. Монотонность функции

возрастание при y ' > 0;

убывание при y ' < 0;

8. Экстремумы функции

а) критические точки: y ' = 0 или y ' не существует;

б) характер экстремума:

если при переходе слева направо производная меняет свой знак

с “+” на “−”, то функция имеет max в этой точке;

если при переходе слева направо производная меняет свой знак

с “−” на “+”, то функция имеет min в этой точке;

или

max при y ''(x₀) < 0;

min при y ''(x₀) > 0;

9. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

кривая выпукла при y '' < 0;

кривая вогнута при y '' > 0;

точки перегиба при y '' = 0 или когда y '' не существует

(точка перегиба A – это граница между

выпуклостью и вогнутостью графика функции, см. рисунок:)

A

°

10. Правило Лопиталя

(для раскрытия неопределённостей вида или )

11. Производная в физике

S = S(t) − путь;

v = v(t) − скорость;

a = a(t) − ускорение;

t − время;