Планиметрия

1. Правильный (равносторонний) треугольник

2. Равнобедренный треугольник

a – основание; b – боковая сторона;

3. Прямоугольный треугольник

a и b – катеты; c – гипотенуза;

теорема Пифагора: a² + b² = c²;

h² = m∙n; метрические

m a² = (m+n)∙m; соотношения

a b² = (m+n)∙n; в прямоугольном

h n треугольнике

b

тригонометрические функции острого угла:

c a

α

b

4. Произвольный треугольник

формула Герона

медиана

биссектриса

α

b c

γ β

a

теорема синусов:

теорема косинусов: a² = b² + c² − 2∙b∙c∙cos α;

теорема тангенсов:

Средняя линия любого треугольника параллельна основанию и равна его

половине.

Число диагоналей выпуклого n-угольника

5. Точки в произвольном треугольнике:

а) центр вписанного круга лежит в точке пересечения биссектрис;

б) центр описанного круга лежит в точке пересечения серединных

перпендикуляров к сторонам;

в) точка пересечения медиан отсекает от каждой медианы ее третью

часть;

г) высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром

треугольника.

6. Треугольники подобны, если в них равны по два угла.

7. Свойство биссектрисы любого треугольника

α α

a b

m n

8. Квадрат

A B AB = BC = CD = AD = a;

d AC = d;

a a d = a∙;

D C

9. Углы со взаимно параллельными или взаимно перпендикулярными

сторонами равны.

10. Трапеция

средняя линия

площадь

11. Параллелограмм

площадь S = a∙h = a∙b∙sin α;

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.

12. Площадь выпуклого 4-х угольника равна половине произведения его

диагоналей на синус угла между ними:

S =

13. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°∙(n−2);

А сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 360°;

14. Круг

площадь S = π∙R²; длина окружности C = 2∙π∙R;

длина дуги

площадь сектора

площадь сегмента

15. Пересекающиеся хорды в круге

A AK∙KB = CK∙KD;

K D

C B

16. Касательная и секущая к окружности

A B Если из одной точки к окружности

проведены касательная и секущая, то

C квадрат касательной равен произведению

секущей на её внешнюю часть:

D AB² = BD∙BC;

17. Угол, вписанный в окружность, измеряется половиной дуги, на

которую он опирается.

18. Если в 4-х угольник произвольной формы вписана окружность, то

суммы противоположных сторон этого 4-х угольника равны.

b

a + c = b + d;

a c

d

19. Если в окружность вписан 4-х угольник произвольной формы, то

суммы противоположных углов этого 4-х угольника равны и равны

180°, т.е. A + C = B + D = 180°;

Кроме того, справедлива теорема Птолемея:

A В 4-х угольнике, вписанном в круг,

B произведение диагоналей равно

D сумме произведений противоположных

C сторон, т.е. AC∙BD = AB∙CD + BC∙AD;

20. Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны.